Odpowiedź:
1:3
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku w załączniku.
Trójkąt BDC jest podobny do trójkąta BEF z cechy kkk (oba trójkąty są prostokątne i mają wspólny kąt przy wierzchołku B). Ponieważ prosta przechodzi przez środek boku BC, więc podzieliła go na dwa równe odcinki BF i FC. Zatem skala podobieństwa trójkątów wynosi 2. Stąd wysokość trójkąta BDC (czyli CD) jest 2 razy większa od wysokości trójkąta BEF (czyli FE).
Prosta podzieliła trójkąt ABC na trójkąt GBF i czworokąt ACFG w stosunku 3:5 (3P:5P, razem 8P).
Wyprowadźmy jakieś związki dla pól trójkąta ABC i trójkąta GBF.
[tex]P_{ABC}=\frac{1}{2}(x+y)h=8P\\P_{GBF}=\frac{1}{2}x*\frac{1}{2}h=\frac{1}{4}xh=3P[/tex]
Zatem zachodzi
[tex]\frac{\frac{1}{2}(x+y)h}{\frac{1}{4}xh}=\frac{8P}{3P}\\\frac{x+y}{\frac{1}{2}x}=\frac{8}{3}\\4x=3x+3y\\x=3y[/tex]
Stąd stosunek 1 : 3.
