Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a=2,\ b=-16}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=ax^2+bx+30[/tex]
Dziedzina:
[tex]a\neq0\\\Delta\geq0\to b^2-4\cdot a\cdot30\geq0\\b^2-120a\geq0[/tex]
[tex]x_1,\ x_2[/tex] - miejsca zerowe funkcji
Ze wzorów Viete'a:
[tex]x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}[/tex]
Z treści zadania mamy:
[tex]x_1+x_2=8[/tex]
stąd:
[tex]\dfrac{-b}{a}=8\qquad|\cdot a\neq0\\\\-b=8a\to b=-8a\qquad(*)[/tex]
Z treści zadania mamy:
[tex]ZW_f=\left<-2,\ \infty\right)[/tex]
Wnioskujemy stąd, że rzędna (y) wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, wynosi -2.
Współrzędne wierzchołka [tex]W(p,\ q)[/tex] paraboli funkcji kwadratowej [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] określamy wzorami:
[tex]p=\dfrac{-b}{2a},\ q=f(p)=\dfrac{-\Delta}{4a}[/tex]
Stąd mamy, że
[tex]q=-2\to\dfrac{-\Delta}{4a}=-2[/tex]
[tex]\Delta[/tex] obliczyliśmy w dziedzinie.
Podstawiamy:
[tex]\dfrac{-(b^2-120a)}{4a}=-2\qquad|\cdot(-4a)\\\\b^2-120a=8a[/tex]
Podstawiamy [tex](*)[/tex]:
[tex](-8a)^2-120a=8a\qquad|-8a\\64a^2-128a=0\qquad|:64\\a^2-2a=0\\a(a-2)=0\iff a=0\ \vee\ a-2=0\\\\a=0\notin D\ \vee\ a=2[/tex]
Obliczamy wartość [tex]b[/tex] podstawiając do [tex](*)[/tex]:
[tex]b=-8\cdot2=-16[/tex]
