Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x)=x+2arcctgx[/tex]
Dziedzina:
[tex]D:x \in \mathbb{R}[/tex]
Istnienie asymptot pionowych:
Brak asymptot pionowych.
Istnienie asymptot poziomych:
[tex]$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x+2arcctgx=-\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} x+2arcctgx=\infty[/tex]
Brak asymptot poziomych.
Istnienie asymptot ukośnych:
[tex]$a=\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} =\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+2arcctgx}{x} =1+2\lim_{x \to \pm\infty} \frac{arcctgx}{x} =1[/tex]
[tex]$b_{1}=\lim_{x \to -\infty} (f(x)-ax)=\lim_{x \to -\infty} x+2arcctgx-x=2\lim_{x \to -\infty} arcctgx=2\pi[/tex]
[tex]$b_{2}=\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)=\lim_{x \to \infty} x+2arcctgx-x=2\lim_{x \to \infty} arcctgx=0[/tex]
Zatem:
Prosta [tex]y=x+2\pi[/tex] jest asymptotą ukośną lewostronną wykresu funkcji [tex]f[/tex].
Prosta [tex]y=x[/tex] jest asymptotą ukośną prawostronną wykresu funkcji [tex]f[/tex].
