[tex]P(x) = x^3 - 3x^2 + 5[/tex]
Na tym etapie widać, że wielomian [tex]P(x)[/tex] nie ma pierwiastków wymiernych.
Przystępuję do obliczenia funkcji pochodnej:
[tex]P'(x) = \left( x^3 \right)' - \left(3x^2 \right)' + \left( 5 \right)' = \left( x^3 \right)' - \left( \left( 3 \right)' \cdot x^2 + 3 \cdot \left( x^2 \right)' \right) + \left( 5 \right)' \\P'(x) = 3x^2 - \left( 0 \cdot x^2 + 3 \cdot 2x \right) + 0 = 3x^2 - 6x[/tex]
Obliczam miejsca zerowe pochodnej:
[tex]0 = 3x^2 - 6x\\\Delta = \left( -6 \right)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 36\\x_1 = \frac{6 - 6}{6} = 0\\ x_2 = \frac{6 + 6}{6} = 2[/tex]
Wykresem funkcji pochodnej jest parabola skierowana ramionami ku górze, dlatego nierówność [tex]P'(x) < 0[/tex] jest spełniona dla [tex]x \in \left( 0,\ 2 \right)[/tex].
Funkcja osiąga maksimum lokalne dla [tex]x = 0[/tex] i minimum lokalne dla [tex]x = 2[/tex]. Przedziały monotoniczności: funkcja rosnąca dla [tex]x \in \left( - \infty,\ 0 \right)[/tex], malejąca dla [tex]x \in \left( 0,\ 2 \right)[/tex], rosnąca dla [tex]x \in \left(2,\ \infty \right)[/tex].
W następnej kolejności obliczam maksimum i minimum lokalne:
[tex]P(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 5 = 5\\P(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5 = 8 - 12 + 5 = 1[/tex]
Minimum lokalne to liczba dodatnia. Oznacza to, że wykres funkcji [tex]P(x)[/tex] przecina oś [tex]OX[/tex] tylko w jednym miejscu, tzn. dany wielomian ma tylko jeden pierwiastek zerowy.
