Rozwiązanie:
[tex]\bold{(c)}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D} (x^{2}+y+1)dxdy[/tex]
Obszar w załączniku.
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} (x^{2}+y+1)dxdy=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(\int\limits^{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}_{0} (x^{2}+y+1)dy\Bigg)dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(x^{2}y+\frac{y^{2}}{2}+y\Bigg|^{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}_{0}\Bigg)dx=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(x^{2}\Big(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\Big) +\frac{\Big(-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\Big)^{2}}{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2} \Bigg)dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{4}x+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\Bigg)dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{1}_{0}\Bigg(-\frac{1}{2}x^{3}+\frac{5}{8}x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{5}{8}\Bigg)dx=-\frac{1}{8}x^{4}+\frac{5}{24}x^{3}-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{5}{8}x \Bigg|^{1}_{0}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]\bold{(d)}[/tex]
[tex]$\iint\limits^{}_{D}e^{x} dxdy[/tex]
Obszar w załączniku.
Całka:
[tex]$\iint\limits^{}_{D}e^{x} dxdy=\int\limits^{\ln 2}_{0}\Bigg(\int\limits^{2}_{e^{x}}e^{x}dy\Bigg)dx=\int\limits^{\ln 2}_{0}\Bigg(e^{x}(2-e^{x})\Bigg)dx=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{\ln 2}_{0}(-e^{2x}+2e^{x})dx=-\frac{1}{2}e^{2x}+2e^{x} \Bigg|^{\ln 2}_{0}=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
