Układy równań (rozwiązanie algebraiczne i interpretacja geometryczna)
Mamy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}4x+y+2=0&(1)\\y=x^2-2x-1&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (2) do (1):
[tex]4x+(x^2-2x-1)+2=0\\4x+x^2-2x-1+2=0\\x^2+2x+1=0[/tex]
W tym momencie możemy zauważyć, że możemy zastosować wzór skróconego mnożenia:
(a + b)² = a² + ab + b²
[tex]x^2+2\cdot x\cdot1+1^2=0\\\\(x+1)^2=0\iff x+1=0\qquad|-1\\\\\huge\boxed{x=-1}[/tex]
Podstawiamy wartość x do (2):
[tex]y=(-1)^2-2\cdot(-1)-1\\y=1+2-1\\\huge\boxed{y=2}[/tex]
Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb:
x = -1, y = 2 ⇒ (-1, 2)
Interpretacja geometryczna układu równań polega na narysowaniu wykresów obu równań układu.
[tex](1)\qquad4x+y+2=0[/tex]
To jest równanie prostej w postaci ogólnej. Przekształćmy do postaci kierunkowej y = ax + b:
[tex]4x+y+2=0\qquad|-4x-2\\\\y=-4x-2[/tex]
Do narysowania prostej na płaszczyźnie wystarczą nam dwa punkty.
Przyjmujemy dowolną wartość x, podstawiamy do równania prostej i obliczamy wartość y:
x = -1
y = -4 · (-1) - 2
y = 2
(-1, 2)
x = 0
y = -4 · 0 - 2
y = -2
(0, -2)
Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i kreślimy przez nie prostą.
[tex](2)\qquad y=x^2-2x-1\\\\a=1,\ b=-2,\ c=-1[/tex]
To jest równanie paraboli. Do naszkicowania paraboli potrzeba nam:
- współrzędne wierzchołka;
- punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych;
- oś symetrii.
Wierzchołek paraboli y = ax² + bx + c:
W(p, q), gdzie
p = -b/2a
q = f(p) = -Δ/4a
Podstawiamy:
[tex]p=\dfrac{-(-2)}{2\cdot1}=\dfrac{2}{2}=1\\\\q=1^2-2\cdot1-1=1-2-1=-2[/tex]
W(1, -2)
Punkty przecięcia z osią OX:
Przyrównujemy równanie do zera:
[tex]x^2-2x-1=0[/tex]
Równanie możemy rozwiązać na różne sposoby. Zastosujemy wzór skróconego mnożenia:
(a - b)² = a² - 2ab + b²
[tex]x^2-2x-1=0\qquad|+2\\\\x^2-2x+1=2\\\\x^2-2\cdot x\cdot1+1^2=2\\\\(x-1)^2=2\Rightarrow x-2=\pm\sqrt2\qquad|+2\\\\x=1-\sqrt2\ \vee\ x=1+\sqrt2[/tex]
(1 - √2; 0) (1 + √2; 0)
Jednak takich punktów nie zaznaczymy w układzie współrzędnych. Musimy zrobić przybliżenia:
(-0,4; 0) (2,4; 0)
Punkty przecięcia z osią OY:
Obliczamy wartość y dla x = 0:
y = 0² - 2 · 0 - 1
y = -1
(0, -1)
Oś symetrii
odpowiada odciętej wierzchołka. Czyli x = 1.
Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i szkicujemy parabolę.
Współrzędne punktu przecięcia (słabo widoczny na wykresie) jest rozwiązaniem naszego układu współrzędnych.
