Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a\in(-\infty,6)-\{-3,0,2\}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]w(x)=(x+a^2)(x-a+6)=x^2-ax+6x+a^2x-a^3+6a^2\\\\w(x)=x^2+(a^2-a+6)x-a^3+6a^2[/tex]
Wielomian w(x) jest trójmianem kwadratowym, w którym:
[tex]a=1,\ b=a^2-a+6,\ c=-a^3+6a^2[/tex]
A pierwiastkami są:
[tex]x_1=a^2,\ x_2=-a+6[/tex]
Aby zachodziły warunki dania, to musi być spełniony układ:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}a\neq0&(1)\\x_1\neq x_2&(2)\\x_1\cdot x_2>0&(3)\\x_1+x_2<0&(4)\end{array}\right[/tex]
[tex](1)\\a=1\neq0\Rightarrow\huge\boxed{a\in\mathbb{R}}[/tex]
[tex](2)\\a^2\neq-a+6\qquad|+a-6\\\\a^2+a-6\neq0\\\\\Delta_a=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=25\\\\\sqrt\Delta_a=5\\\\a_1\neq\dfrac{-1-5}{2\cdot1}\\\\a_1\neq\dfrac{-6}{2}\\\\a_1\neq-3\\\\a_2\neq\dfrac{-1+5}{2\cdot1}\\\\a_2\neq\dfrac{4}{2}\\\\a_2\neq2\\\\\huge\boxed{a\in\mathbb{R}-\{-3,\ 2\}}[/tex]
[tex](3)\\a^2(-a+6)>0\\^{a=0\ \ \ a=6}\\\\\huge\boxed{a\in(-\infty,\ 0)\ \cup\ (0,\ 6)}[/tex]
[tex](4)\\a^2+(-a+6)<0\\\\a^2-a+6>0\\\\\Delta_a=(-1)^2-4\cdot1\cdot6=1-24=-23<0\\\\\huge\boxed{a\in\mathbb{R}}[/tex]
Z (1), (2), (3) i (4) mamy:
[tex]\boxed{a\in(-\infty,-3)\ \cup\ (-3,0)\ \cup\ (0,2)\ \cup\ (2,6)\Rightarrow a\in(-\infty,6)-\{-3,0,2\}}[/tex]
