Odpowiedź:
lim x → 0 x/ln² (1+x) = + ∞
Szczegółowe wyjaśnienie:
lim x → 0 x/ln^2 (1+x) to lim x → 0 x/ln² (1+x)
lim x → 0 ln (1+x) = ln1 = 0 bo e° = 1
Jest to symbol nieoznaczony typu [f(x)/g(x) = 0/0]
Stosujemy w takich przypadkach regułę de L Hospitala:
lim x → 0 [f(x)/g(x)] = lim x → 0 f'(x)/g'(x)
lim x → 0 f'(x)/g'(x) =
f(x) = x to f'(x) = 1,
g(x) = ln² (1+x)
to g'(x), a więc należy obliczyć pochodną funkcji złożonej, najpierw określamy funkcję najbardziej wewnętrzną:
u = 1 + x to du/dx = 1
v = ln u to dv/du = 1/u
w = v² = (ln²u) to dw/dv = 2v
____________________________
g'(x) = (du/dx)•(dv/du)•(dw/dv) = dw/dx = 1•(1/u)•(2v) =
= 1•[1/(1 + x)]•2ln(1 + x) = [2ln(1 + x)]/(1 + x) to
lim x → 0 g'(x) = lim x → 0 [2ln(1 + x)]/(1 + x) = [2•0/(1 + 0)] = 0/1 = 0
lim x → 0 f'(x)/g'(x) = 1/0
Jeżeli mianownik ułamka dąży → 0 to wartość ułamka
(1/0) → {1:1/10, 1: 1/100 1:1/1000..., = 1•10, 1•100, 1•1000, ..., → + ∞}
Ostatecznie lim x → 0 x/ln² (1+x) = + ∞
