Odpowiedź:
Punkt przegięcia: [tex]x = \frac{1}{2}[/tex]
Funkcja wypukła dla [tex]x \in (-\infty, \frac{1}{2})[/tex]
Funkcja wklęsła dla [tex]x \in (\frac{1}{2}, +\infty)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Punkt przegięcia funkcji jednej zmiennej to argument, dla którego funkcja zmienia wypukłość (z wypukłej staje się wklęsła lub odwrotnie). O wypukłości funkcji informuje nas znak drugiej pochodnej [tex]f''(x)[/tex]. Jeżeli druga pochodna jest dodatnia, to funkcja jest wypukła, a jeżeli jest ujemna - funkcja jest wklęsła.
Stąd dla punktu przegięcia druga pochodna zmienia znak, więc w szczególności się zeruje. Znajdźmy zatem drugą pochodną funkcji [tex]f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 12x - 5[/tex]:
[tex]f'(x) = -6x^2 + 6x - 12[/tex]
[tex]f''(x) = (f'(x))' = -12x + 6[/tex]
Stąd już widać, że jedynym miejscem zerowym drugiej pochodnej jest [tex]x = \frac{1}{2}[/tex]. Co więcej, łatwo sprawdzić, że w tym argumencie funkcja [tex]f''(x) = -12x + 6[/tex] zmienia znak. Zatem [tex]x = \frac{1}{2}[/tex] jest (jedynym) punktem przegięcia funkcji [tex]f(x) = -2x^3 + 3x^2 - 12x - 5[/tex].
Dla [tex]x < \frac{1}{2}[/tex], [tex]f''(x) = -12x + 6 > 0[/tex], stąd funkcja jest wypukła.
Z kolei [tex]x > \frac{1}{2} \implies f''(x) < 0[/tex] i w tym przedziale funkcja jest wklęsła.
