Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{N\left(\dfrac{17}{5},\ \dfrac{19}{5}\right)}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zadanie można rozwiązać na różne sposoby. Ale każdy z nich praktycznie będzie prowadził do podobnych równań (czy to będą wektory, czy równanie okręgu).
Na początku znajdźmy prostą MN.
Wiemy, że dana prosta jest symetralną odcinka MN. Zatem jest do niego prostopadła.
Jeżeli dwie proste są prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1.
Mamy:
[tex]k:y=2x+5\\\\MN:y=ax+b\\\\k\ \perp\ MN\iff2a=-1\qquad|:2\\\\a=-\dfrac{1}{2}\\\\MN:y=-\dfrac{1}{2}x+b[/tex]
Podstawmy współrzędne punktu M(-3, 7):
[tex]7=-\dfrac{1}{2}\cdot(-3)+b\\\\7=\dfrac{3}{2}+b\qquad|-\dfrac{3}{2}\\\\b=\dfrac{11}{2}[/tex]
[tex]MN:y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}[/tex]
Teraz znajdźmy punkt wspólny prostych:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}y=2x+5\\y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{11}{2}&|\cdot4\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}y=2x+5\\4y=-2x+22\end{array}\right}\\.\qquad5y=27\qquad|:5\\.\qquad y=\dfrac{27}{5}[/tex]
Podstawiamy do pierwszego równania:
[tex]2x+5=\dfrac{27}{5}\qquad|\cdot5\\\\10x+25=27\qquad|-25\\\\10x=2\qquad|:10\\\\x=\dfrac{1}{5}[/tex]
Mamy punkt, który jest środkiem odcinka MN:
[tex]S_{MN}\left(\dfrac{1}{5};\ \dfrac{27}{5}\right)[/tex]
Wzór na środek odcinka:
[tex]A(x_A,\ y_A);\ B(x_B;\ y_B)\\\\S_{AB}=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\left(\dfrac{-3+x_M}{2},\ \dfrac{7+y_M}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{5},\ \dfrac{27}{5}\right)\\\\\dfrac{-3+x_M}{2}=\dfrac{1}{5}\qquad|\cdot10\\\\5(-3+x_M)=2\\\\-15+5x_M=2\qquad|+15\\\\5x_M=17\qquad|:5\\\\x_M=\dfrac{17}{5}\\\\\dfrac{7+y_M}{2}=\dfrac{27}{5}\qquad|\cdot10\\\\5(7+y_M)=2\cdot27\\\\35+5y_M=54\qquad|-35\\\\5y_M=19\qquad|:5\\\\y_M=\dfrac{19}{5}[/tex]
