Odpowiedź:
33. a) Teraz uzupełniamy wyrazy od początku ciągu, od wyrazu a1:
16,5; 17; 17,5; (18; jest uzupełniony); 18,5; (19; jest uzupełniony).
Wyrazy pogrubione należy uzupełnić.
b)
Napiszemy wszystkie wyrazy ciągu, wyrazy pogrubione należy uzupełnić: (17), 15, 13, (11), 9, 7.
c)
d = 12/4 = 3.
Uzupełnimy wyrazy od początku, od wyrazu a1, wyrazy w nawiasie
oznaczają wyrazy już uzupełnione (2); (14); więc mamy:
-1, (2), 5, 8, 11, (14).
d)
Wyrazy ciągu od początku, od a1:
0, - 1/3, -2/3, - 3/3, (- 4/3), (- 5/3); wyrazy pogrubione należy uzupełnić
34.
a)
Pierwszy wyraz a1 = -19/3; Różnica ciągu d = - 2/3
b)
Pierwszy wyraz a1 = 100, Różnica ciągu d = -5
c)
Pierwszy wyraz a1 = 2/7; Różnica ciągu d = 26/70 = 13/35
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu arytmetycznym każdy następny wyraz powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej różnicy d = r, więc napiszemy kilka wyrazów tego ciągu:
a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = a1 + 4d po tych kilku utworzonych wyrazach możemy już
_________________ napisać wzór ogólny ciągu:
an = = a1 + (n-1)d
Jeżeli każdy następny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy d do wyrazu poprzedniego, to różnicę d otrzymamy odejmując od dowolnego wyrazu następnego wyraz poprzedni:
d = a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a5 - a4 = a6 - a5 ..., = a(n + 1) - an to
d = a(n + 1) - an to a(n + 1) = an + d (wzór rekurencyjny).
[gdzie a1, a2, a3, ..., an, a(n + 1); oznaczają a znaczkiem 1, a ze znaczkiem 2, a ze znaczkiem 2, ..., a ze znaczkiem n, a ze znaczkiem (n + 1)].
33. a)
Przyjmiemy, że wyraz an = 18, to wyraz następny jest równy
18 +d, i następny 18 + 2d = 19, to z tych zależności mamy
2d = 19 - 18 = 1 to d = 0,5
Teraz uzupełniamy wyrazy od początku ciągu, od wyrazu a1
a1 = 18 - 3d = 16,5; a2 = 17; a3 = 17,5; (a4 = 18; jest uzupełniony);
a5 = 18,5; (a6 = 19; jest uzupełniony).
Wyrazy pogrubione należy uzupełnić.
b)
Mamy, a1 = 17; następne trzy kolejne wyrazy:
17 + d, 17 + 2d, wyraz uzupełniony 17 + 3d = 11 to 3d = 11 - 17 = - 6 to
d = - 6/3 = - 2. Teraz napiszemy wszystkie wyrazy, wyrazy pogrubione należy uzupełnić: (17), 15, 13, (11), 9, 7.
d)
Tutaj widzimy z dwóch ostatnich wyrazów, że:,
do wyrazu -4/3 dodamy d to otrzymamy wyraz następny -5/3 to
d = - 1/3 bo - 4/3 + d = -5/3 to d = 4/3 - 5/3 = - 1/3, to
zgodnie ze wzorem ogólnym an = a1 + (n - 1)d to a5 = a1 + 4d = - 4/3
to a1 = - 4/3 - 4d = - 4/3 + 4/3 = 0 więc napiszemy teraz wyrazy ciągu od początku, od a1: 0, - 1/3, -2/3, - 3/3, (- 4/3), (- 5/3); wyrazy pogrubione należy uzupełnić.
c)
Niech zaznaczony wyraz a2 = 2; to kolejne cztery następne wyrazy będą: 2 + d, 2 + 2d, 2 + 3d, (2 + 4d = 14, wyraz uzupełniony; to
4d = 14 - 2 = 12 to d = 12/4 = 3.
Teraz uzupełnimy wyrazy od początku, od wyrazu a1, wyrazy w nawiasie
oznaczają wyrazy już uzupełnione (2); (14); więc mamy:
-1, (2), 5, 8, 11, (14).
34.
a) Dane: a2 = - 7, a8 = - 11; obliczyć a1 i d.
Zgodnie ze wzorem ogólnym (który wcześniej został wyprowadzony):
an = a1 + (n-1)d, mamy:
a2 = a1 + d = -7, to a1 = - 7 - d i a8 = a1 + 7d = - 11 to
- 7 - d + 7d = - 11 to 6d = -11 + 7 = - 4 to d = -4/6 = -2/3 to
a1 = -7 - (-2/3) to a1 = -21/3 + 2/3 to
Odpowiedź: a1 = -19/3; d = - 2/3
b)
a9 = 60; a21 = 0 to a21 = a1 + 20d = 0 to a1 = - 20d to
a9 = 60 to a1 + 8d = 60 to a1 = 60 - 8 d to 60 - 8d = - 20d to
12d = - 60 to d = - 5 a1 = - 20d = 100 to
Odpowiedź: a1 = 100, d = -5
c)
a4 = a1 + 3d = 1i2/5 = 7/5 = 1,4; a11 = a1 + 10d = 4 to
a1 = 1,4 - 3d = 4 - 10d to 7d = 4 - 1,4 = 2,6 = 26/10 to
70d/10 =26/10 /•10 to 70d = 26 to d = 26/70 = 13/35 i a1 = 4 - 10d
to a1 = 4 -130/35 = 4 - 26/7 = 28/7 - 26/7 = 2/7
Odpowiedź: a1 = 2/7; d = 26/70 = 13/35
