Rozwiązanie:
Ciąg:
[tex]$a_{n}=\sqrt[n]{n^{2}+2^{(-1)^{n}n}}[/tex]
Ustalmy podciągi:
Ciąg liczb parzystych taki, że [tex]n=2k[/tex] dla [tex]k \in \mathbb{N}_{+}[/tex] :
[tex]a_{2k}=\sqrt[2k]{(2k)^{2}+2^{(-1)^{2k}2k}}[/tex]
Dla parzystych [tex]n[/tex] ciąg możemy zapisać jako:
[tex]a_{2k}=\sqrt[2k]{4k^{2}+2^{2k}}=\sqrt[2k]{4k^{2}+4^k}}[/tex]
Obliczamy jego granicę:
[tex]$ \lim_{k \to \infty} a_{2k}=\lim_{k \to \infty} \Big(4k^{2}+4^{k}\Big)^{\frac{1}{2k}}=\lim_{k \to \infty}e^{\frac{1}{2k} \ln(4k^{2}+4^{k})}[/tex]
Funkcja ekspotencjalna jest ciągła, więc możemy przejść z granicą do wykładnika:
[tex]$\lim_{k \to \infty}\frac{\ln(4k^{2}+4^{k})}{2k}=\Big[\frac{\infty}{\infty} \Big][/tex]
Korzystamy z reguły de 'l Hospitala:
[tex]$\lim_{k \to \infty}\frac{\ln(4k^{2}+4^{k})}{2k}=\lim_{k \to \infty}\frac{\frac{8k+ 4^{k} \ln 4}{4k^{2}+4^{k}} }{2} =\frac{1}{2} \lim_{k \to \infty} \frac{8k+4^{k}\ln 4}{4k^{2}+4^{k}} =[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2} \lim_{k \to \infty} \frac{4^{k}\Big(\frac{8k}{4^{k}} +\ln 4\Big)}{4^{k}\Big(\frac{4k^{2}}{4^{k}}+1\Big) }=\frac{1}{2}\ln4=\ln2[/tex]
Granica podciągu wynosi:
[tex]$\lim_{k \to \infty}e^{\frac{1}{2k} \ln(4k^{2}+4^{k})}=e^{\ln 2}=2[/tex]
Ciąg liczb nieparzystych taki, że [tex]n=2k+1[/tex] dla [tex]k \in \mathbb{N}_{+}[/tex] :
[tex]a_{2k+1}=\sqrt[2k+1]{(2k+1)^{2}+2^{(-1)^{2k+1}2k+1}}[/tex]
Dla nieparzystych [tex]n[/tex] ciąg możemy zapisać jako:
[tex]$a_{2k+1}=\sqrt[2k+1]{4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}}[/tex]
Obliczamy jego granicę:
[tex]$ \lim_{k \to \infty} a_{2k+1}=\lim_{k \to \infty} \Big(4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}\Big)^{\frac{1}{2k+1} }=\lim_{k \to \infty} e^{\frac{1}{2k+1} \ln (4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1} )}[/tex]
Funkcja ekspotencjalna jest ciągła, więc możemy przejść z granicą do wykładnika:
[tex]$ \lim_{k \to \infty} \frac{\ln \Big(4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}\Big)}{2k+1} =\Big[\frac{\infty}{\infty} \Big][/tex]
Korzystamy z reguły de 'l Hospitala:
[tex]$\lim_{k \to \infty} \frac{\ln \Big(4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}\Big)}{2k+1}=\frac{1}{2} \lim_{k \to \infty} \frac{8k+4-4^{-k}\ln 2}{4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}}[/tex]
Po powtórnym użyciu reguły:
[tex]$\frac{1}{2} \lim_{k \to \infty} \frac{8k+4-4^{-k}\ln 2}{4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1}}=\frac{1}{2} \lim_{k \to \infty} \frac{8+4^{-k}\ln 2 \ln 4}{8k+4-4^{-k}\ln2}=0[/tex]
Granica podciągu wynosi:
[tex]$\lim_{k \to \infty} e^{\frac{1}{2k+1} \ln (4k^{2}+4k+1+2^{-2k-1} )}=e^{0}=1[/tex]
Zatem udało się znaleźć dwa podciągi wyjściowego ciągu zbieżne do różnych granic, co pokazuje, że ciąg nie jest zbieżny (nie ma skończonej granicy). Stwierdzamy, że ciąg jest rozbieżny.
