Odpowiedź:
[tex]$\int {\frac{x+3}{x(x^{2}-5x-6)} } \, dx =-\frac{1}{2} \ln |x|+\frac{2}{7} \ln |x+1|+\frac{3}{14} \ln |x-6|+C[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]$\int {\frac{x+3}{x(x^{2}-5x-6)} } \, dx =\int {\frac{x+3}{x(x+1)(x-6)} } \, dx [/tex]
Ułamki proste:
[tex]$\frac{x+3}{x(x+1)(x-6)} =\frac{A}{x} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{x-6} [/tex]
Mnożąc przez mianownik:
[tex]x+3=A(x+1)(x-6)+Bx(x-6)+Cx(x+1)[/tex]
[tex]x+3=A(x^{2}-5x-6)+B(x^{2}-6x)+C(x^{2}+x)[/tex]
[tex]x+3=Ax^{2}-5Ax-6A+Bx^{2}-6Bx+Cx^{2}+Cx[/tex]
[tex]x+3=x^{2}(A+B+C)+x(-5A-6B+C)-6A[/tex]
Stąd mamy:
[tex]$-6A=3 \iff A=-\frac{1}{2} [/tex]
Po wstawieniu wartości mamy układ dwóch równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}-\frac{1}{2}+B+C=0 \\\frac{5}{2}-6B+C=1 \end{array}\right[/tex]
Po odjęciu stronami:
[tex]-3+7B=-1[/tex]
[tex]$7B=2 \iff B=\frac{2}{7} [/tex]
Zatem:
[tex]$C=\frac{1}{2}-B=\frac{1}{2} -\frac{2}{7} =\frac{7-4}{14} =\frac{3}{14} [/tex]
Zatem całka wygląda tak:
[tex]$\int {\frac{x+3}{x(x+1)(x-6)} } \, dx =\int {\frac{-\frac{1}{2} }{x}+\frac{\frac{2}{7} }{x+1}+\frac{\frac{3}{14} }{x-6} } \, dx =[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{2} \int {\frac{1}{x} } \, dx +\frac{2}{7} \int {\frac{1}{x+1} } \, dx +\frac{3}{14} \int {\frac{1}{x-6} } \, dx =[/tex]
[tex]$=-\frac{1}{2} \ln |x|+\frac{2}{7} \ln |x+1|+\frac{3}{14} \ln |x-6|+C[/tex]
