Odpowiedź i szczegółowe wyjaśnienie:
Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:
[tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a^2+b^2-ab)\\
\\
Teraz\ rozpiszemy:
a^2+b^2=(a^2+2ab+b^2)-2ab=(a+b)^2-2ab\\
\\
I wprowadzamy\ do\ wzoru\ powyzej:\\
\\
(a+b)[(a+b)^2-2ab-ab]=(a+b)[(a+b)^2-3ab][/tex]
Teraz wystarczy podstawić podstawowe wzory Viette'a:
[tex]x_1+x_1=-\dfrac{b}{a}\\
\\
x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}[/tex]
Z więc:
[tex]x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]=(-\dfrac{b}{a})\cdot[(-\dfrac{b}{a})^2-3\cdot\dfrac{c}{a}]=\\
\\
=\dfrac{-b}{a}\cdot(\dfrac{b^2}{a^2}-\dfrac{3c}{a})=-\dfrac{b^3}{a^3}+\dfrac{3bc}{a^2}[/tex]
