Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^2+2x^2y^2\geq2(x^2y+xy^2)\\\\x^2+2x^2y^2\geq2x^2y+2xy^2\qquad|-2x^2y\\\\x^2-2x^2y+x^2y^2+x^2y^2\geq2xy^2\qquad|-2xy^2\\\\x^2\underbrace{(1-2y+y^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}+x^2y^2-2xy^2\geq0\\\\x^2(1-y)^2+y^2(x^2-2x)\geq0[/tex]
[tex]x^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\(1-y)^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}[/tex]
I problem zaczyna się przy ostatnim wyrażeniu, ponieważ
[tex]\text{dla}\ x\in(0,\ 2)\ x^2<2x,\ \text{stad}\ x^2-2x<0[/tex]
WNIOSEK:
Ta nierówność nie jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.
Jest tylko prawdziwa dla [tex]x\in\left(-\infty,\ 0\right>\ \cup\ \left<2,\ \infty\right)[/tex]
Z uwagi w komentarzu pod rozwiązaniem.
[tex]x^2+2x^2y^2+y^2\geq2x^2y+2xy^2\qquad|-2x^2y-2xy^2\\\\x^2+\underbrace{x^2y^2+x^2y^2}_{2x^2y^2}+y^2-2x^2y-2xy^2\geq0\\\\x^2-2x^2y+x^2y^2+y^2-2xy^2+x^2y^2\geq0\\\\x^2\underbrace{(1-2y+y^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}+y^2\underbrace{(1-2x+x^2)}_{(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}\geq0\\\\x^2(1-y)^2+y^2(1-x)^2\geq0[/tex]
[tex]x^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}\\(1-y)^2\ \text{dla kazdego}\ y\in\mathbb{R}\\y^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ y\in\mathbb{R}\\(1-x)^2\ \text{dla kazdego}\ x\in\mathbb{R}[/tex]
Stąd
[tex]x^2(1-y)^2+y^2(1-x)^2\geq0\ \text{dla kazdego}\ x,y\in\mathbb{R}[/tex]
A co za tym idzie:
[tex]x^2+2x^2y+y^2\geq2(x^2y+xy^2)[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]
