Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{f\nearrow\ \text{dla}\ x\in\left(-\infty,2\right>\ \cup\ \left<3,\infty\right)}\\\boxed{f\searrow\ \text{dla}\ x\in\left<2,\ 3\right>}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=2x^3-15x^2+36x[/tex]
Obliczamy pochodną funkcji:
[tex]f'(x)=3\cdot2x^2-2\cdot15x+36=6x^2-30x+36[/tex]
Znajdujemy miejsca zerowe pochodnej:
[tex]f'(x)=0\iff6x^2-30x+36=0\qquad|:6\\\\x^2-5x+6=0\\\\x^2-2x-3x+6=0\\\\x(x-2)-3(x-2)=0\\\\(x-2)(x-3)=0\iff x-2=0\ \vee\ x-3=0\\\\x=2\ \vee\ x=3[/tex]
Kreślimy rysunek pomocniczy (parabola z ramionami skierowanymi w górę ponieważ współczynnik przy [tex]x^2[/tex] jest dodatni).
Patrz załącznik.
Tam gdzie pochodna przyjmuje wartości dodatnie, tam funkcja jest rosnąca, a tam gdzie ujemne jest malejąca.
Stąd:
Funkcja jest rosnąca dla [tex]x\in\left(-\infty,\ 2\right>\ \cup\ \left<3,\ \infty\right)[/tex]
Funkcja jest malejąca dla [tex]x\in\left<2,\ 3\right>[/tex]
PS. To są maksymalne przedziały monotoniczności, dlatego przedziały są domkniete.
