Oblicz pole powierzchni i objętość czworościanu foremnego o krawędzi 6√3 m

Czworościan foremny to taki graniastosłup, którego zarówno podstawa, jak i wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Mamy dany czworościan foremny, o krawędzi [tex]6\sqrt{3} m[/tex]. Musimy obliczyć pole powierzchni, oraz objętość.

Pole powierzchni

[tex]P_c=a^2\sqrt{3}\\a=6\sqrt{3}m\\\\P_c=(6\sqrt{3}m)^2\cdot \sqrt{3}=\boxed{108\sqrt{3}m^2}[/tex]

Objętość

[tex]V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12} \\a=6\sqrt{3}m[/tex]

[tex]\\\\V=\frac{(6\sqrt{3}m)^3\cdot \sqrt{2}}{12}=\frac{216\sqrt{27}m^3\cdot\sqrt{2}}{12} =18\sqrt{9\cdot3}m^3\cdot\sqrt{2}=54\sqrt{3}m^3\cdot\sqrt{2}=\boxed{54\sqrt{6}m^3}[/tex]

ODP.: Pole powierzchni wynosi [tex]108\sqrt{3}m^2[/tex], a objętość [tex]54\sqrt{6}m^3[/tex].

Animaldkviz Animaldkviz · Answer 2

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{P_c=108\sqrt3\ m^2}\\\boxed{V=54\sqrt6\ m^3}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Powierzchni czworościanu foremnego składa się z czterech przystających trójkątów równobocznych.

Pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:

[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]

[tex]a[/tex] - bok trójkąta

Podstawiamy daną długość:

[tex]a=6\sqrt3m[/tex]

[tex]P_\triangle=\dfrac{(6\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{6^2(\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\!\!\!\!\!\diagup^9\cdot3\sqrt3}{4\!\!\!\!\diagup_1}=27\sqrt3(m^2)[/tex]

Obliczamy pole całkowite czworościanu foremnego:

[tex]P_c=4P_\triangle\\\\P_c=4\cdot27\sqrt3=108\sqrt3(m^2)[/tex]

Wyprowadzimy wzór na objętość czworościanu foremnego.

Czworościan foremny jest ostrosłupem. Czyli wzór ogólny na objętość ostrosłupa to:

[tex]V=\dfrac{1}{3}P_pH[/tex]

[tex]P_p[/tex] - pole podstawy

[tex]H[/tex] - wysokość ostrosłupa

Wiemy, że wysokości w trójkącie równobocznym dzielą się w stosunku 1:2.

Patrz na załącznik.

Wysokość trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:

[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]

stąd:

[tex]\dfrac{2}{3}h=\dfrac{2\!\!\!\!\diagup}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup}=\dfrac{a\sqrt3}{3}[/tex]

Z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy wysokość czworościanu [tex]H[/tex]:

[tex]H^2+\left(\dfrac{a\sqrt3}{3}\right)^2=a^2\\\\H^2+\dfrac{a^2(\sqrt3)^2}{3^2}=a^2\\\\H^2+\dfrac{3a^2}{9}=a^2\qquad|-\dfrac{3a^2}{9}\\\\H^2=\dfrac{9a^2}{9}-\dfrac{3a^2}{9}\\\\H^2=\dfrac{6a^2}{9}\to H=\sqrt{\dfrac{6a^2}{9}}\\\\H=\dfrac{\sqrt{6a^2}}{\sqrt9}\\\\H=\dfrac{a\sqrt6}{3}[/tex]

Pole podstawy, czyli pole trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:

[tex]P_p=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]

Podstawiamy pod wzór na objętość ostrosłupa:

[tex]V=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt6}{3}=\dfrac{a^3\sqrt{3\cdot6}}{36}=\dfrac{a^3\sqrt{3\cdot3\cdot2}}{36}=\dfrac{3\!\!\!\!\diagup^1a^3\sqrt2}{36\!\!\!\!\!\diagup_{12}}=\dfrac{a^3\sqrt2}{12}[/tex]

W ten sposób wyprowadziliśmy wzór na objętość czworościanu foremnego.

Podstawiamy długość krawędzi:

[tex]a=6\sqrt3\ m\\\\V=\dfrac{(6\sqrt3)^3\sqrt2}{12}=\dfrac{216\cdot3\sqrt3\cdot\sqrt2}{12}=18\cdot3\sqrt6=54\sqrt6(m^3)[/tex]