Odpowiedź:
Założenia: [tex]a, x[/tex] ∈ [tex]R[/tex]
Teza: [tex]\frac{1}{a^x+a^{-x}-1}\leq 1[/tex]
Dowód: Zauważmy, że:
[tex]a^x+a^{-x}-1=a^x+\frac{1}{a^x}-1[/tex]
1) [tex]a<0[/tex]
Wtedy [tex]a^x+\frac{1}{a^x}<0[/tex], czyli [tex]a^x+\frac{1}{a^x}-1<0[/tex]. Zatem [tex]\frac{1}{a^x+\frac{1}{a^x}-1} <0\leq 1[/tex], czyli mamy tezę.
2) [tex]a\geq 0[/tex]
Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną dla liczb [tex]a^x[/tex] oraz [tex]\frac{1}{a^x}[/tex], otrzymujemy:
[tex]\frac{a^x+\frac{1}{a^x}}{2}\geq \sqrt{a^x*\frac{1}{a^x}}\\a^x+\frac{1}{a^x} \geq 2*1=2[/tex].
[tex]a^x+\frac{1}{a^x}-1\geq 2-1=1[/tex].
Zatem [tex]\frac{1}{a^x+a^{-x}-1}\leq 1[/tex]. c.n.w
