Odpowiedź:
W celu obliczenie , czy istnieją punkty wspólne, należy rozwiązać układ równań
A.
x² + y² =2 ∧ y = x + 2
∧ - znaczy "i"
za y do pierwszego równania wstawiamy x + 2 z drugiego równania
x² + (x + 2)² = 2
x² + x² + 4x + 4 -2 = 0
2x² + 4x +2 =0 | : 2
x² + 2x + 1 = 0
a = 1 , b = 2 , c = 1
Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 - 1 = 4 - 4 = 0
x₁ = x₂ = - b/2a = - 2/2 = - 1 - jeden wspólny punkt z okręgiem
B,
(x - 2)² + (y + 2)² =18 ∧ y = x + 2
x² - 4x + 4 + (x + 2 + 2)² = 18
x² - 4x + 4 + (x + 4)² = 18
x² - 4x + 4 + x² + 8x + 16 = 18
2x² + 4x + 20 = 18
2x² + 4x + 20 - 18 = 0
2x² + 4x + 2 = 0 | : 2
x² + 2x + 1 = 0
a = 1 , b = 2 , c = 1
Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 - 1 = 4 - 4 = 0
x₁ = x₂ = - b/2a = - 2/2 = - 1 - jeden wspólny punkt z okręgiem
C.
x² + (y + 1)² = 1 ∧ y = x + 2
x² + (x + 2 + 1)² = 1
x² + (x + 3)² = 1
x² +x² + 6x + 9 = 1
2x² + 6x + 9 - 1 = 0
2x² + 6x + 8 = 0 | : 2
x² + 3x + 4 = 0
a = 1 , b = 3 , c = 4
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * 4 = 9 - 16 = - 7
Δ < 0 więc brak punktów wspólnych z okręgiem
D.
x² + y² = 4 ∧ y = x + 2
x² + (x + 2)² = 4
x² + x² + 4x + 4 - 4 = 0
2x² + 4x = 0
2x(x + 2) = 0
2x = 0 ∨ x + 2 = 0
x = 0 ∨ x = - 2 dwa punkty wspólne z okręgiem o współrzędnych
A - jeden punkt = ( 0 , x + 2) = (0 , 2 )
B - drugi punkt = ( - 2 , x + 2) = ( - 2 , - 2 + 2) = (- 2 , 0 )
Odp: D
