Odpowiedź:
1.
f(x) = x² + 3
a = 1 , b = 0 , c = 3
Δ = b² - 4ac = 0² - 4 * 1 * 3 = - 12
a > 0 i Δ < 0 ; parabola z ramionami do góry nie ma miejsc zerowych i jest parabolą y = x² przesunięto o 3 jednostki do góry
Wykres w załączniku
2.
a)
6x² - 2x -1 = 0
a = 6 , b = - 2 , c = - 1
Δ = b² - 4ac = (- 2)² - 4 * 6 * (- 1) = 4 + 24 = 28
√Δ = √28 = √(4 * 7) = 2√7
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (2 - 2√7)/12 = 2(1 - √7)/12 =(1 - √7)/6
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (2 + 2√7)/12 = 2(1 + √7)/12 = (1 + √7)/6
b)
x⁴ - 6x² - 7 = 0
za x² wstawiamy z
z² - 6z - 7 = 0
Δ = (- 6)² - 4 * 1 * (- 7) = 36 + 28 = 64
√Δ = √64 =8
z₁ = ( 6 - 8)/2 = - 2/2 = - 1
z₂ = (6 + 8)/2 = 14/2 = 7
Ponieważ x₁² = - 1 , a liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie może być mniejsza od 0 , więc :
x² =7
x² - 7 = 0
(x - √7)(x + √7) = 0
x = √7 ∨ x = - √7
3.
a)
- 3x² + 2x - 1 ≥ 0
a = - 3 , b = 2 , c = - 1
Δ = b² - 4ac = 2² - 4 * (- 3) * (- 1) = 4 - 12 = - 8
a < 0 i Δ < 0 , parabola z ramionami do dołu znajduje się całkowicie pod osią OX i przyjmuje tylko wartości ujemne
x ∈ ∅ (zbiór pusty)
b)
x² - 5x + 4 ≤ 0
a = 1 , b = - 5 , c = 4
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9
√Δ = √9 = 3
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 5 - 3)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (5 + 3)/2 = 8/2 = 4
(x - 1)(x - 4) ≤ 0
x - 1 ≥ 0 ∧ x - 4 ≤ 0 ∨ x - 1 ≤ 0 ∧ x - 4 ≥ 0
x ≥ 1 ∧ x ≤ 4
x ∈ < 1 , 4 >
4.
y = x + 2
y = x²
x² = x + 2
x² - x - 2 = 0
a = 1 , b = - 1 , c = - 2
Δ = b² - 4ac = (- 1)² - 4 * 1 * (- 2) = 1 + 8 = 9
√Δ = √9 =3
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( 1 - 3)/2 =- 2/2 = - 1
x₂ = ( - b + √Δ)/2a = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2
y₁ = x₁ + 2 = - 1 + 2 = 1
y₂ = x₂ + 2 = 2 + 2 = 4
Interpretacja geometryczna
Wykresami podanych równań jest parabola i linia prosta . Z rozwiązania wynika , że prosta przecina parabolę w punktach o współrzędnych :
( - 1 , 1 ) - jeden punkt
(2 , 4 ) - drugi punkt
Wykres w załączniku 2
5.
f(x) = 2x² - 8x + 9 ; przedział < - 2 , 2 >
a = 2 , b = - 8 , c = 9
Obliczamy współrzędna x wierzchołka paraboli
xw = - b/2a = 8/4 = 2
Ponieważ wierzchołek należy do przedziału , a > 0 , więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku
f(2) = 2 * 2² - 8 *2 + 9 = 2 * 4 -16 + 9 = 8 - 16 + 9 = 1 wartość najmniejsza
f(- 2) = 2 * (- 2)² - 8 * (- 2) + 9 = 2 * 4 + 16 + 9 = 33 wartość największa
6.
y = ax² + 16x + 27 ; ZWf: y ∈ < - 5 , + ∞)
Δ = 16² - 4 * a * 27 = 256 - 108a
yw -współrzędna y wierzchołka = - Δ/4a = - 5
- (256 - 108a)/4a = - 5
- (256 - 108a) = - 20a
256 - 108a = 20a
256 = 20a + 108a = 128a
a = 256 : 128 = 2
y = 2x² + 16x + 27
Δ = 16² - 4 * 2 * 27 = 256 - 216 = 40
p = - b/2a = - 16/4 = - 4
q = - Δ/4a = - 40/8 = - 5
Postać kanoniczna = a(x - p)² + q = 2(x + 4)² - 5
