Podzielność - dowodzenie.
- Mamy liczbę postaci:
[tex]64^n - 4^n \quad dla \quad \mathbb{N} \ni n\ge1[/tex]
musimy pokazać, że jest ona podzielna przez [tex]12[/tex]. - Przekształcamy wyrażenie:
[tex]64^n-4^n = 4^n(16^n-1)=\\= 4^n(16-1)\left( \sum_{i=0}^{n-1} 16^{n-1-i} 1^i \right)=\\= 4\cdot 15\cdot 4^{n-1} \left( \sum_{i=0}^{n-1} 16^{n-1-i}\right)=\\=12\cdot 5 \cdot 4^{n-1} \left( \sum_{i=0}^{n-1} 16^{n-1-i}\right)[/tex] - Dostajemy więc wyrażenie podzielne przez [tex]12[/tex] (a nawet przez [tex]60[/tex]).
Korzystamy tutaj ze wzoru:
[tex]a^n-b^n = (a-b) \left( \sum_{i=0}^{n-1} a^{n-1-i} b^i\right)[/tex]
Inną przydatną zależnością jest wzór dwumianowy Newtona:
[tex](a+b)^n =\left( \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k\right)[/tex]
