oblicz używając wzorów skróconego mnożenia
[tex]\frac{x-6}{2} + x(x+2) \leq (x+3)^{2} +2[/tex]


Odpowiedź :

Odpowiedź:

[tex]\huge\boxed{x\in\langle-4;+\infty)}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rozwiązanie nierówności

[tex]\frac{x-6}{2}+x(x+2)\leq(x+3)^2+2 \ \ /\cdot2\\\\x-6+2x(x+2)\leq2(x^2+2\cdot x\cdot3+3^2)+4\\\\x-6+2x^2+4x\leq2(x^2+6x+9)+4\\\\2x^2+5x-6\leq2x^2+12x+18+4\\\\2x^2+5x-2x^2-12x\leq18+4+6\\\\-7x\leq28 \ \ /:(-7)\\\\x\geq-4\\\\x\in\langle-4;+\infty)[/tex]

Dzieląc / mnożąc obustronnie przez liczbę ujemną zmieniamy znak nierówności na przeciwny!

Użyty wzór skróconego mnożenia

  • na kwadrat sumy

[tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]

[tex]\frac{x - 6}{2}[/tex] + x(x + 2)  ≤  (x + 3)² + 2      [tex]\frac{x - 6}{2}[/tex] + x² + 2x  ≤  x² + 6x + 9 + 2

[tex]\frac{x - 6}{2}[/tex] + x² + 2x  ≤  x² + 6x + 11      | - x²

[tex]\frac{x - 6}{2}[/tex] + 2x  ≤  6x + 11      | × 2

x - 6 + 4x  ≤  12x + 22      

5x - 6  ≤  12x + 22         | - 12x + 6

-7x  ≤  28       | ÷ (-7)

x  ≥  -4