Been11viz
Rozwiązane

Uzasadnij, że dla dowolnego kąta α ∈ <0°;90°) ∪ (90°;180°> prawdziwa jest równość
1/cos²α = tg²α + 1.

Odpowiedź :

Viviviz

α ∈ <0°;90°) ∪ (90°;180°>

[tex]\frac1{cos^2\alpha}=tg^2\alpha+1\\\\L=\frac1{cos^2\alpha}\\\\P=tg^2\alpha+1=\frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}+\frac{cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{sin^2\alpha+cos^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac1{cos^2\alpha}\\\\L=P[/tex]

skorzystaliśmy z następujących wzorów:

[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1[/tex]

Animaldkviz

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]\dfrac{1}{\\cos^2\alpha}=\text{tg}^2\alpha+1\\\\L=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\left(\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2+1=\text{tg}^2\alpha+1\\\\P=\text{tg}^2\alpha+1\\\\L=P\qquad\qquad\qquad\blacksquare[/tex]

Skorzystałem z tożsamości:

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\text{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]

Viz Inne Pytanie