Odpowiedź:
Aby równanie 3 stopnia miało dokładnie dwa pierwiastki , to jeden z pierwiastków musi być podwójny , czyli 2 pierwiastki muszą mieć jednakową wartość
mx³ + x² + x = 0
x(mx² + x + 1) = 0
x = 0 - jeden pierwiastek
mx² + x + 1 = 0
Powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki jednakowej wartości , gdy m > 0 i Δ = 0
Δ = 1² - 4 * m * 1 = 1 - 4m
1 - 4m = 0
- 4m = - 1
4m = 1
m = 1/4
Sprawdzenie:
1/4x³ + x² + x = 0 | * 4
x³ + 4x² + 4x = 0
x(x² + 4x + 4) = 0
x = 0 ∨ x² + 4x + 4 = 0
x² + 4x +4 = 0
Δ = 4² - 4 * 1 * 4 = 16 - 16 = 0
x₁ = x₂ = - 4/2 = - 2
x₁ = 0 , x₂ = - 2 , x₃ = - 2
Odpowiedź:
[tex]m = \frac{1}{4} \lor m = 0[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyłączmy wspólny czynnik [tex]x[/tex] przed nawias:
[tex]mx^3 + x^2 + x = x(mx^2+x+1)[/tex].
W ten sposób, znaleźliśmy jeden z pierwiastków tego wielomianu: [tex]x = 0[/tex], jest to konsekwencją twierdzenia Bezouta. Aby nasz wielomian miał dokładnie dwa pierwiastki, trójmian [tex]mx^2 + x + 1[/tex] musi mieć dokładnie jeden pierwiastek, ponadto różny od 0. Drugie wymaganie jest oczywiście spełnione niezależnie od [tex]m[/tex] - widzimy, że ten trójmian nie może być podzielny przez [tex]x[/tex].
Aby trójmian kwadratowy miał dokładnie jeden pierwiastek, jego wyróżnik [tex]\Delta[/tex] musi być równy 0. Jeżeli [tex]f(x) = ax^2 + bx + c[/tex], to
[tex]1 - 4m = 0\\4m = 1\\m = \frac{1}{4}[/tex]
Zatem równanie [tex]mx^3 + x^2 + x[/tex] ma dokładnie dwa pierwiastki dla [tex]m = \frac{1}{4}[/tex].
Istnieje też drugi przypadek, mianowicie dla [tex]m = 0[/tex] trójmian [tex]mx^2 + x + 1[/tex] degeneruje się do czynnika liniowego [tex]x + 1[/tex], który ma jeden pierwiastek -1. Zatem w tym przypadku równanie [tex]mx^3 + x^2 + x[/tex] też ma dokładnie dwa pierwiastki.
