Odpowiedź:
poniżej i w załączniku rysunek
Szczegółowe wyjaśnienie:
1
P=1/2 * AB*AC sin alfa
P=1/2*4*10*1/2=10
ODP. D
2
Narysujemy i wychodzi trójkąt prostokątny ADC
AD/AC=cos 60 stopni=1/2
AB=2AD=2*8√2*1/2
AB=2AD=8√2
ODP. B
3
α=kąt wpisany oparty na łuku ADB, a β to kąt środkowy oparty na łuku ADB.
β=2 α, CZYLI β=90 stopni
Rysujemy i wychodzi, że trójkąt ABO, gdzie punkt O to środek średnicy okręgu, jest prostokątny
R- promień okręgu
R^2+R^2= a^2
2 R^2=36
R^2=18
R=√18=3√2
ODP C
4
13/17 =0,76, czyli kąt to 50°
5/8=0,62 czyli kąt to 39°
ODP B
5
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny to dokładnie jego wysokości (bo dokładnie tak dzielą się wysokości w trójkącie równobocznym).
r=1/3h, zatem h=3r=3*6=18 cm
ODP C
6
Rysunek w załączniku
WYSOKOŚĆ BD TO h=a√3/2
Wiemy, że bok naszego trójkąta równobocznego ma długość a=6, bo odcinek |AB|=6. Zatem:
h=6√3/2=√3/2
obliczamy długość DA
cos 30 stopni to DA/BA=DA/6
√3/2=DA/6 zatem
DA= 6√3/2=3√3/2
DC= DA+AC=3√3/2+4=11√3/2
BD^2+DC^2=BC^2
ODP C
7
A 4x^2+4x^2=7x^2
16 x^2+16 x^2=49 x^2
Zatem nie jest to trójkąt prostokątny. Ponieważ jednak kwadrat najdłuższego z boków jest większy niż suma kwadratów pozostałych boków, musi być to trójkąt rozwartokątny
ODP D
8
d- długości przekątnych w prostokącie
α- kąt między przekątnymi
P=1/2*d^2*sin α
P=1/2*36*√3/2
P=9√3
ODP A
9
Twierdzenie Carnota:
W trójkącie długość środkowej d opadającej na bok c wynosi:
d = 0,5 √(2a^2+2b^2-c^2)
d =0,5 √(2*10^2+2*10^2-82)
d=1/2*√336=2√21
10
a=|AB|, b=|BC|, c=|AC|, przy czym |AC|=2|BC|
czyli c=2b
P=b*c*sin(ACB)*1/2=18√3
b*2b *√3/2*1/2=18√3
2b^2=18√3*4/√3
2b^2=72
b=√26=6 cm
|BC|=6cm
|AC|=6*2=12cm
Stosują twierdzenie cosinusów mamy
AB^2=AC^2+BC^2-2AC*BC*cos 60 stopni
AB^2=144+36-2*12*6*1/2
AB=√108
AB= 6√3
P=1/2 * 6√3*12 sin BAC
Sin BAC=18√3*1/36√3
Sin BAC=1/2
Zatem BAC to kąt 30 stopni
Czyli trójkąt jest prostokątny, bo kąt CBA to 180-60-30=90 stopni
Środek okręgu opisanego leży dokładnie na środku przeciwprostokątnej.
Długość przeciwprostokątnej można obliczyć ze wzoru:
c=2r
przeciwprostokątna to AC, czyli
r=AC/2=12/2=6 cm
