Odpowiedź:
zad 1
f(x) max = 2 , x₁ = - 1 , x₂ = 3
f(x) = a(x -x₁)(x - x₂) = a(x + 1)(x - 3)
Obliczamy xw - współrzędną x wierzchołka paraboli
xw = (x₁ + x₂)/2 = (- 1 + 3)/2 = 2/2 = 1
W - współrzędne wierzchołka = ( 1 , 2 )
f(1) = 2
2 = a(1 +1)(1 - 3) = a * 2 * (- 2) = - 4a
- 4a = 2
4a = - 2
a = - 2/4 = - 1/2
f(x) = - 1/2(x + 1)(x - 3) postać iloczynowa
f(x) = - 1/2(x + 1)(x - 3) = - 1/2(x² +x - 3x - 3) = - 1/2(x² - 2x - 3) = - 1/2x² + x + 3/2 = - 1/2x² + x + 1 1/2 postać ogólna
f(x) = - 1/2(x - 1)² + 2 postać kanoniczna
zad 2
W zadaniu zastosowano nawias , ponieważ bez nawiasu x + 1 * (2x +3) jest co najmniej dziwnym zapisem
(x + 1)(2x +3) ≤ (x + 1)(5 - x)
2x² + 2x + 3x + 3 ≤ 5x + 5 - x² - x
2x² + 5x + 3 ≤ - x² + 4x + 5
2x² + x² + 5x - 4x + 3 - 5 ≤ 0
3x² + x - 2 ≤ 0
Obliczamy miejsca zerowe
3x² + x - 2 = 0
a = 3 , b = 1 , c = - 2
Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * 3 * (- 2) = 1 + 24 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = (- b - √Δ)/2a = ( - 1 - 5)/6 = - 6/6 = - 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 5)/6 = 4/6 = 2/3
a > 0 , więc ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX
x ∈ < - 1 , 2/3 >
zad 3
y = - 4x² + 3x + 1
Obliczamy miejsca zerowe
- 4x² + 3x + 1 =0
a = - 4 , b = 3 , c = 1
Δ = b² - 4ac = 3² - 4 * (- 4) * 1 = 9 + 16 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 3 - 5)/(- 8) = 8/8 = 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 3 + 5)/(- 8) = 2/(- 8)= - 2/8 = - 1/4
Postać iloczynowa
y = a(x -x₁)(x - x₂) = - 4(x - 1)(x +1/4)
Postać kanoniczna
y = a(x - p)² + q
p = - b/2a = - 3/(- 8) = 3/8
q = - Δ/4a = - 25/(- 32) = 25/32
y = - 4(x - 3/8)² + 25/32
zad 4
W - współrzędne wierzchołka = ( 2 , 4 ) ; współrzędne punktu = (- 1 , 7 )
f(x) = a(x - p)² + q
p = 2 , q = 4
f(x) = a(x -2)² + 4
Ponieważ punkt należy do paraboli , więc spełnia warunki równania
7 = a(- 1 - 2)² + 4
7 = a * (- 3)² + 4
7 = 9a + 4
9a = 7 - 4 = 3
a = 3/9 = 1/3
f(x) = 1/3(x - 2)² + 4 wzór w postaci kanonicznej
