Witaj :)
Sprawdźmy, czy równość
[tex]\Large \boxed{\frac{1}{\sin x} +ctg x=\frac{\sin x}{1-\cos x}}[/tex]
jest tożsamością trygonometryczną. W tym celu zajmijmy się lewą stroną:
[tex]L=\frac{1}{\sin x} +ctgx=\frac{1}{\sin x} +\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{\sin x+\sin x \cos x}{\sin^2 x} =\frac{\sin x(1+\cos x)}{sin^2 x} =\boxed{\frac{1+\cos x}{\sin x} }[/tex]
Teraz zajmijmy się prawą stroną równania, i pomnóżmy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną, do mianownika:
[tex]P=\frac{\sin x}{1-\cos x} \cdot \frac{1+\cos x}{1+\cos x} =\frac{\sin x+\sin x\cos x}{1-\cos^2 x} =\frac{\sin x(1+\cos x)}{\sin^2x+\cos^2 x-\cos^2 x} =\frac{\sin x(1+\cos x)}{\sin^2x } =\\\\=\boxed{\frac{1+\cos x}{\sin x} }[/tex]
Ponieważ L=P, wobec tego:
[tex]\Large \boxed{\frac{1}{\sin x} +ctg x=\frac{\sin x}{1-\cos x}}[/tex]
Jest tożsamością trygonometryczną.
Użyte wzory:
[tex]\sin^2x+\cos^2x =1\\\\\frac{\cos x}{\sin x} =ctgx[/tex]
