Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{x=6}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Miejsce zerowe funkcji, to taki argument funkcji (x), dla którego wartość funkcji (f(x) = y) jest równa 0.
Mamy funkcję:
[tex]f(x)=\left(\sqrt[3]{6}^{\frac{3}{\sqrt2}-3}\right)x-\sqrt6^{\sqrt2}[/tex]
Skorzystam z:
[tex]\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\ \text{dla}\ a\geq0\\\\\sqrt[3]{a}=a^\frac{1}{3}[/tex]
[tex](a^n)^m=a^{nm}\\\\\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}[/tex]
Obliczamy miejsce zerowe:
[tex]\left(\sqrt[3]{6}^{\frac{3}{\sqrt2}-3}\right)x-\sqrt6^{\sqrt2}=0\qquad|+\sqrt6^{\sqrt2}\\\\\left(\sqrt[3]{6}^{\frac{3}{\sqrt2}-3}\right)x=\sqrt6^{\sqrt2}\\\\\left(6^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{3}{\sqrt2}-3}x=\left(6^{\frac{1}{2}}\right)^{\sqrt2}\\\\6^{\frac{1}{3}\left(\frac{3}{\sqrt2}-3\right)}x=6^{\frac{1}{2}\cdot\sqrt2}\\\\6^{\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt2}-\frac{1}{3}\cdot3}x=6^{\frac{\sqrt2}{2}}[/tex]
[tex]6^{\frac{1}{\sqrt2}-1}x=6^{\frac{\sqrt2}{2}}\qquad|:6^{\frac{1}{\sqrt2}-1}\\\\x=6^{\frac{\sqrt2}{2}-\left(\frac{1}{\sqrt2}-1}\right)\\\\\\\\x=6^{\frac{\sqrt2}{2}-\frac{1}{\sqrt2}+1}[/tex]
Aby było czytelne, zajmę się tylko wykładnikiem:
[tex]\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{1}{\sqrt2}+1=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{1}{\sqrt2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}+1=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}+1=1[/tex]
Wracamy do x:
[tex]x=6^1\\\\\boxed{x=6}[/tex]
