Odpowiedź:
[tex]tg\beta =\sqrt{6}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Rysunek w załączniku.
Po pierwsze oczywiste jest, że [tex]|OB|=a[/tex].
Obliczamy [tex]$tg\frac{\alpha }{2}[/tex] korzystając ze wzoru:
[tex]$tg\alpha =\frac{2tg\frac{\alpha }{2} }{1-tg^{2}\frac{\alpha }{2} }[/tex]
Mamy:
[tex]$2\sqrt{6} =\frac{2tg\frac{\alpha }{2} }{1-tg^{2}\frac{\alpha }{2}}[/tex]
[tex]$2tg\frac{\alpha }{2}=2\sqrt{6} -2\sqrt{6 }tg^{2}\frac{\alpha }{2}[/tex]
[tex]$2\sqrt{6}tg^{2}\frac{\alpha }{2} +2tg\frac{\alpha }{2}-2\sqrt{6} =0[/tex]
[tex]$\sqrt{6} tg^{2}\frac{\alpha }{2}+tg\frac{\alpha }{2}-\sqrt{6} =0[/tex]
[tex]\Delta=1-4 \cdot \sqrt{6} \cdot (-\sqrt{6} )=25[/tex]
[tex]$tg\frac{\alpha }{2}=\frac{-1+5}{2\sqrt{6} } \vee tg\frac{\alpha }{2}=\frac{-1-5}{2\sqrt{6} }[/tex]
[tex]$tg\frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{6} }{3} \vee tg\frac{\alpha }{2}=-\frac{\sqrt{6} }{2}[/tex]
Wybieramy pierwsze rozwiązanie ze względu na to, że kąt [tex]$\frac{\alpha }{2}[/tex] musi być ostry.
W trójkącie prostokątnym [tex]SOB[/tex] mamy:
[tex]$tg\frac{\alpha }{2} =\frac{a}{H} \Rightarrow a=Htg\frac{\alpha }{2}=\frac{H\sqrt{6} }{3}[/tex]
Wiadomo też, że [tex]$|OP|=\frac{a}{2}[/tex] (wynika to z geometrii sześciokąta foremnego). Zatem w trójkącie prostokątnym [tex]SOP[/tex] mamy:
[tex]$tg\beta =\frac{H}{\frac{a}{2} } =\frac{2H}{a} =\frac{2H}{\frac{H\sqrt{6} }{3} } =\sqrt{6}[/tex]
