Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x)=3x^{3}-2x^{2}-6x[/tex]
Pochodna:
[tex]f'(x)=9x^{2}-4x-6[/tex]
Prosta (dana w zadaniu):
[tex]y=-6x+7[/tex]
Skoro prosta styczna ma być równoległa to jej współczynnik kierunkowy musi być taki sam [tex]a=-6[/tex]. Z interpretacji geometrycznej pochodnej wiadomo, że:
[tex]a=f'(x_{0})[/tex]
Stąd:
[tex]f'(x_{0})=-6 \iff 9x_{0}^{2}-4x_{0}-6=-6[/tex]
[tex]9x_{0}^{2}-4x_{0}=0[/tex]
[tex]x_{0}(9x_{0}-4)=0[/tex]
[tex]$x_{0}=0 \vee x_{0}=\frac{4}{9}[/tex]
Pozostało znaleźć rzędne tych punktów:
[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]$f\Big(\frac{4}{9} \Big)=-\frac{680}{243}[/tex]
Zatem te punkty to:
[tex]P_{1}=(0,0)[/tex]
[tex]$P_{2}=\Big(\frac{4}{9},-\frac{680}{243} \Big)[/tex]
