Rozwiązanie:
[tex]a)[/tex]
[tex]$f(x)=\frac{2x-18}{x^{2}-9}[/tex]
Istnienie asymptot pionowych:
[tex]$ \lim_{x \to -3^{-}} f(x)= \lim_{x \to -3^{-}}\frac{2x-18}{x^{2}-9} =\Big[\frac{-24}{0^{+}} \Big]=-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to -3^{+}} f(x)= \lim_{x \to -3^{+}}\frac{2x-18}{x^{2}-9} =\Big[\frac{-24}{0^{-}} \Big]=\infty[/tex]
Obie granice są niewłaściwe, więc prosta [tex]x=-3[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
[tex]$\lim_{x \to 3^{-}} f(x)= \lim_{x \to 3^{-}}\frac{2x-18}{x^{2}-9} =\Big[\frac{-12}{0^{-}} \Big]=\infty[/tex]
[tex]$\lim_{x \to 3^{+}} f(x)= \lim_{x \to 3^{+}}\frac{2x-18}{x^{2}-9} =\Big[\frac{-12}{0^{+}} \Big]=-\infty[/tex]
Obie granice są niewłaściwe, więc prosta [tex]x=3[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
Istnienie asymptot poziomych:
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} \frac{2x-18}{x^{2}-9} =\lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}(\frac{2}{x}-\frac{18}{x^{2}}) }{x^{2}(1-\frac{9}{x^{2}}) } =\frac{0}{1} =0[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{2x-18}{x^{2}-9} =\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}(\frac{2}{x}-\frac{18}{x^{2}}) }{x^{2}(1-\frac{9}{x^{2}}) } =\frac{0}{1} =0[/tex]
Zatem prosta [tex]y=0[/tex] jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w [tex]\pm \infty[/tex].
[tex]b)[/tex]
[tex]$f(x)=\frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5}[/tex]
Istnienie asymptot pionowych:
[tex]$ \lim_{x \to -\frac{5}{2} ^{-}} f(x)= \lim_{x \to -\frac{5}{2} ^{-}}\frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5} =\Big[\frac{\frac{119}{4} }{0^{+}} \Big]=\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to -\frac{5}{2} ^{+}} f(x)= \lim_{x \to -\frac{5}{2} ^{+}}\frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5} =\Big[\frac{\frac{119}{4} }{0^{-}} \Big]=-\infty[/tex]
Obie granice są niewłaściwe, więc prosta [tex]$x=-\frac{5}{2}[/tex] jest asymptotą pionową wykresu funkcji.
[tex]$ \lim_{x \to 1} f(x)= \lim_{x \to 1}\frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5} =\lim_{x \to 1}\frac{x-6}{2x+5} =-\frac{5}{7}[/tex]
Granica ma w punkcie granicę właściwą, więc asymptoty pionowej tutaj nie mamy.
Istnienie asymptot poziomych:
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)= \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5} =\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)= \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}-7x+6}{2x^{2}+3x-5} =\frac{1}{2}[/tex]
Zatem prosta [tex]$y=\frac{1}{2}[/tex] jest asymptotą poziomą wykresu funkcji w [tex]\pm \infty[/tex].
