Mamy równanie:
[tex]\dfrac{dy}{dx}+y\cos x=0,5\sin2x[/tex]
Przekształcamy do innej postaci:
[tex](y\cos x-0,5\sin2 x)dx+dy=0[/tex]
Stąd:
[tex]P(x,y)=y\cos x-0,5\sin2x\\\\Q(x,y)=1[/tex]
Pochodne cząstkowe:
[tex]P_y=\cos x\\\\Q_x=0[/tex]
Równanie nie jest zupełne. Bierzemy różnicę:
[tex]P_y - Q_x=\cos x[/tex]
Dzielimy przez Q, aby otrzymać równanie o jednej zmiennej:
[tex]\dfrac{P_y - Q_x}{Q}=\cos x[/tex]
Rozwiązujemy równanie:
[tex]\dfrac{\mu'}{\mu}=\cos x\\\\\dfrac{d\mu}{\mu}=\cos x dx\\\\\ln|\mu|=\sin x +K\\\\\ln|\mu|=\ln e^{\sin x+K}\\\\\mu=e^{\sin x +K}\\\\\mu=e^K\cdot e^{\sin x}\\\\\mu=Ce^{\sin x}[/tex]
Kładziemy stałą równą 1:
[tex]\mu(x)=e^{\sin x}[/tex]
Mnożymy równanie wyjściowe przez uzyskany czynnik:
[tex](y\cos x -0,5\sin 2x)e^{\sin x}dx+e^{sin x}dy=0[/tex]
Mamy:
[tex]P(x,y)=(y\cos x-0,5\sin 2x)e^{\sin x}\\\\Q(x,y)=e^{sin x}[/tex]
Równanie jest zupełne, ponieważ:
[tex]P_y=Q_x=e^{\sin x}\cdot \cos x[/tex]
Mamy:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial y}=Q\\\\\dfrac{\partial F}{\partial y}=e^{\sin x}\\\\F(x,y)=ye^{\sin x}+\varphi (x)[/tex]
Różniczkujemy po zmiennej x:
[tex]\dfrac{\partial F}{\partial x}=y\cos x\cdot e^{\sin x}+\varphi'(x)[/tex]
Porównujemy z P(x,y) i mamy:
[tex]\varphi'(x)=-0,5\sin 2x \cdot e^{\sin x}\\\\\varphi'(x)=-\sin x\cos x \cdot e^{\sin x}[/tex]
Liczymy całkę:
[tex]\varphi(x)=\int(-\sin x\cos x \cdot e^{\sin x})dx=\begin{array}{|c|}t=\sin x\\d t=\cos x dx\end{array}=\\\\\\=\int(-te^t)dt=\begin{array}{|c|c|}u'=e^t&v=-t\\u=e^t&v'=-1\end{array}=\\\\\\=-te^t+\int e^t dt=-te^t+e^t=e^t(1-t)=e^{\sin x}(1-\sin x)[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy:
[tex]F(x,y)=ye^{\sin x}+e^{\sin x}(1-\sin x)\\\\F(x,y)=C\\\\ye^{\sin x}+e^{\sin x}(1-\sin x)=C\\\\ye^{\sin x}=C+e^{\sin x}(\sin x-1)\\\\\boxed{y=Ce^{-\sin x}+\sin x-1}[/tex]
