Rozwiązanie:
Funkcja:
[tex]f(x)=x^{3}+3x^{2}+x[/tex]
[tex]1[/tex]. Dziedzina:
[tex]D= \mathbb{R}[/tex]
[tex]2.[/tex] Miejsca zerowe:
[tex]f(x) =0 \iff x^{3}+3x^{2}+x=0[/tex]
[tex]x(x^{2}+3x+1)=0[/tex]
[tex]\Delta=9-4 \cdot 1 \cdot 1=5[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{-3-\sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{-3+\sqrt{5} }{2}[/tex]
[tex]x_{3}=0[/tex]
[tex]3.[/tex] Punkt przecięcia z osią [tex]OY[/tex] :
[tex]P=(0,f(0))[/tex]
[tex]f(0)=0[/tex]
[tex]P=(0,0)[/tex]
[tex]4.[/tex] Granice na krańcach przedziałów (tu w nieskończonościach) :
[tex]$ \lim_{x \to -\infty} f(x)=\lim_{x \to -\infty}(x^{3}+3x^{2}+x)=-\infty[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to \infty} f(x)=\lim_{x \to \infty}(x^{3}+3x^{2}+x)=\infty[/tex]
[tex]5[/tex]. Asymptoty:
Łatwo stwierdzić, że funkcja [tex]f[/tex] nie ma asymptot.
[tex]6.[/tex] Przedziały monotoniczności:
Obliczamy pochodną:
[tex]f'(x)=3x^{2}+9x+1[/tex]
Zerujemy ją:
[tex]f'(x)=0 \iff 3x^{2}+6x+1=0[/tex]
[tex]\Delta=36-4 \cdot 3 \cdot 1=24[/tex]
[tex]$x_{1}=\frac{-6-2\sqrt{6} }{6}=\frac{-3-\sqrt{6} }{3}[/tex]
[tex]$x_{2}=\frac{-6+2\sqrt{6} }{6}=\frac{-3+\sqrt{6} }{3}[/tex]
Mamy:
[tex]$f'(x)>0 \iff x \in (-\infty,\frac{-3-\sqrt{6} }{3}) \cup (\frac{-3+\sqrt{6} }{3} ,\infty)[/tex]
[tex]$f'(x)<0 \iff x \in (\frac{-3-\sqrt{6} }{3} ,\frac{-3+\sqrt{6} }{3} )[/tex]
Funkcja [tex]f[/tex] jest malejąca w przedziale [tex]$ <\frac{-3-\sqrt{6} }{3} ,\frac{-3+\sqrt{6} }{3} >[/tex] oraz rosnąca w przedziale [tex]$(-\infty,\frac{-3-\sqrt{6} }{3}> \ \cup \ <\frac{-3+\sqrt{6} }{3} ,\infty)[/tex].
[tex]7[/tex]. Ekstrema:
Na podstawie powyższego łatwo stwierdzić, że funkcja osiąga ekstremum będące maksimum lokalnym dla [tex]$x=\frac{-3-\sqrt{6} }{3}[/tex] równe:
[tex]$f(\frac{-3-\sqrt{6} }{3} )=\frac{9+4\sqrt{6} }{9}[/tex]
oraz ekstremum będące minimum lokalnym dla [tex]$x=\frac{3+\sqrt{6} }{3}[/tex] równe:
[tex]$f(\frac{-3+\sqrt{6} }{3} )=\frac{9-4\sqrt{6} }{9}[/tex]
[tex]8[/tex]. Przedziały wklęsłości i wypukłości:
Obliczamy drugą pochodną funkcji [tex]f[/tex]:
[tex]f''(x)=6x+6[/tex]
Funkcja jest wypukła jeśli [tex]f''(x)>0[/tex], a więc gdy:
[tex]6x+6>0[/tex]
[tex]x+1>0[/tex]
[tex]$x> -1[/tex]
Oczywiste jest, że [tex]f''(x)<0[/tex], gdy [tex]$x<-1[/tex]. Zatem funkcja jest wklęsła w tym przedziale.
[tex]9.[/tex] Punkty przegięcia:
Miejsca zerowe drugiej pochodnej już obliczyliśmy w punkcie [tex]8.[/tex]:
[tex]x=-1[/tex]
Z powyższych rozważań wiadomo też, że pochodna drugiego rzędu zmienia znak przy przejściu przez ten punkt, więc jest on punktem przegięcia funkcji. Obliczamy jego wartość:
[tex]P_{1}=(-1,1)[/tex]
Na koniec szkicujemy wykres funkcji (załącznik).
