Mamy:
[tex]y=2x+7\\\\C=(-5,2)[/tex]
a)
Współrzędne punktów leżących na prostej k są postaci (x, 2x+7). Odległość punktu leżącego na prostej k od punktu C jest równa:
[tex]d=\sqrt{(x-(-5))^2+(2x+7-2)^2}=\sqrt{(x+5)^2+(2x+5)^2}=\\\\=\sqrt{x^2+10x+25+4x^2+20x+25}=\sqrt{5x^2+30x+50}=\\\\=\sqrt{5(x^2+6x+10)}[/tex]
Szukamy takich x, dla których ta odległość jest równa 5:
[tex]\sqrt{5(x^2+6x+10)}=5\\\\5(x^2+6x+10)=25\\\\x^2+6x+10=5\\\\x^2+6x+5=0\\\\a=1,\ b=6,\ c=5\\\\\Delta=b^2-4ac=6^2-4\cdot1\cdot5=36-20=16\\\\\sqrt{\Delta}=4\\\\x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6-4}{2}=-5\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-6+4}{2}=-1[/tex]
Zatem szukane punkty to:
[tex]A=(-5,-3)\\\\B=(-1,5)[/tex]
b)
Na rysunku widzimy, że podstawa AC jest równoległa do osi OY i jej długość jest równa:
[tex]a:=|AC|=2-(-3)=5[/tex]
Natomiast wysokość poprowadzona z wierzchołka B jest równa:
[tex]h=-1-(-5)=4[/tex]
Stąd pole trójkąta ABC to:
[tex]P_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot h=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot4=\boxed{10}[/tex]
c)
Cosinus tego kąta obliczymy, korzystając z twierdzenia cosinusów. Potrzebna nam jest długość odcinka AB:
[tex]|AB|=\sqrt{(-5-(-1))^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}[/tex]
Na podstawie twierdzenia cosinusów:
[tex]|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2-2\cdot|AC|\cdot|BC|\cdot \cos\alpha\\\\(\sqrt{80})^2=5^2+5^2-2\cdot5\cdot5\cdot \cos\alpha\\\\80=25+25-50\cos\alpha\\\\80=50-50\cos\alpha\\\\50\cos\alpha=-30\\\\\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{3}{5}}[/tex]
