[tex]\sqrt{53-10\sqrt6}[/tex]
[tex]a,b \neq 0[/tex]
[tex](a-b)^2=53-10\sqrt6[/tex]
[tex]a^2-2ab+b^2=53-10\sqrt6[/tex]
(jeżeli obie liczby byłyby niewymierne lub jedna z nich wymierna a druga niewymierna, to a^2 i b^2 byłyby wymierne)
stąd
[tex]-2ab=-10\sqrt6\ \ \ |:(-2)[/tex]
[tex]ab=5\sqrt6[/tex]
[tex]a=\frac{5\sqrt6}{b}[/tex]
i
[tex]a^2+b^2=53[/tex]
[tex](\frac{5\sqrt6}{b})^2+b^2=53[/tex]
[tex]\frac{150}{b^2}+b^2=53\ \ \ |\cdot b^2[/tex]
[tex]150+b^4=53b^2[/tex]
[tex]b^4-53b^2+150=0[/tex]
[tex]n=b^2,n>0[/tex]
[tex]n^2-53n+150=0[/tex]
[tex]\Delta=(-53)^2-4\cdot1\cdot150=2809-600=2209[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{2209}=47[/tex]
[tex]n_1=\frac{53-47}{2}=\frac{6}{2}=3[/tex]
[tex]n_2=\frac{53+47}{2}=\frac{100}{2}=50[/tex]
[tex]b=\sqrt3\ \ \ lub\ \ \ b=\sqrt{50}=5\sqrt2[/tex]
[tex]a=\frac{5\sqrt6}{b}=\frac{5\sqrt6}{\sqrt3}=5\sqrt2[/tex]
lub
[tex]a=\frac{5\sqrt6}{5\sqrt2}=\sqrt3[/tex]
-----------
[tex](a-b)^2=53-10\sqrt6[/tex]
[tex]53-10\sqrt6=(5\sqrt2-\sqrt3)^2[/tex]
lub
[tex]53-10\sqrt6=(\sqrt3-5\sqrt2)^2[/tex]
[tex]\sqrt{53-10\sqrt6}=\sqrt{(5\sqrt2-\sqrt3)^2}=|5\sqrt2-\sqrt3|=5\sqrt2-\sqrt3[/tex]
lub
[tex]\sqrt{53-10\sqrt6}=\sqrt{(\sqrt3-5\sqrt2)^2}=|\sqrt3-5\sqrt2|=5\sqrt2-\sqrt3[/tex]
Ostatecznie
[tex]\sqrt{53-10\sqrt6}=5\sqrt2-\sqrt3[/tex]
Nie wiem czy to sprytne, ale wszystkie obliczenia są.
