1) Bok rombu jest o 4 krótszy od jednej przekątnej i o 12 krótszy od drugiej przekątnej. Oblicz wysokość tego rombu.
2) wierzcholki trójkąta prostokątnego o długosciach przyprostokątnych 20 i 21 leżą na okręgu o promieniu równym
3) tomek wyruszyl z osrodka do oddalonego o 25 km miasta. Do przystanku szedl z predkoscia 4km/h. Dalsza część drogi pokonal autobusem który jechal z lredkoscia 70 km/h podrlz z osrodka do miasta trwala 1 h i 15 minjt. Oblicz w jakiej odleglosci od odsrodka znajduje sie przystanek i i le kilometrów tomek jechal autobusem.

W takim trójkącie bok (a) rombu jest przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są połowy przekątnych [tex]\left(\frac{d_1}2\,,\frac{d_2}2\right)[/tex] rombu.

Bok rombu jest o 4 krótszy od jednej przekątnej, czyli d₁ = a + 4 i o 12 krótszy od drugiej przekątnej, czyli d₂ = a + 12.

Zatem z tw. Pitagorasa:

[tex]\left(\frac{a+4}2\right)^2+\left(\frac{a+12}2\right)^2=a^2\\\\ \frac{a^2+8a+16}4+\frac{a^2+24a+144}4=a^2\qquad/\cdot4\\\\2a^2+32a+160=4a^2 \\\\-2a^2+32a+160=0 \qquad /:(-2)\\\\a^2-16a-80=0\\\\\Delta=(-16)^2-4\cdot1\cdot(-80)=256+320=576\quad\implies\quad\sqrt\Delta=24\\\\ a_1=\frac{16-24}2<0\ ,\qquad a_2=\frac{16+24}2=20[/tex]

Bok nie może być ujemny, czyli mamy:

a = 20

d₁ = 24

d₂ = 32

Pole rombu z przekątnych to: [tex]P=\frac{d_1\cdot d_2}{2}[/tex]

Pole rombu jako równoległoboku: P = a·h

Stąd:

[tex]a\cdot h = \frac{d_1\cdot d_2}2\\\\20\cdot h = \frac{24\cdot 32}2\\\\20\cdot h = 24\cdot 16\qquad/:20\\\\h=\frac{24\cdot16}{20}=\frac{12\cdot16}{10}=\frac{192}{10}=19,2[/tex]

2)

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy połowie długości jego przeciwprostokątnej (R=¹/₂c).

Z tw. Pitagorasa przeciwprostokątna ma długość:

[tex]20^2+21^2=c^2\\\\400+441=c^2\\\\c^2=841\\\\c=29[/tex]

R = ¹/₂·29 = 14,5

Czyli wierzchołki trójkąta prostokątnego o długościach przyprostokątnych 20 i 21 leżą na okręgu o promieniu równym 14,5

3)

1 h 15 min = 1,25 h

t₁ = t - czas przejścia z ośrodka do przystanku

t₂ = 1,25 - t - czas przejazdu autobusem

v₁ = 4 km/h

v₂ = 70 km/h

s₁ = s - odległość przystanku od ośrodka

s₂ = 25 - s - odległość przystanku od miasta

Prędkość to stosunek drogi do czasu, czyli:

[tex]v_1=\dfrac{s_1}{t_1}\quad\implies\quad t_1=\dfrac{s_1}{v_1}\quad\implies\quad t=\dfrac s4\\\\v_2=\dfrac{s_2}{t_2}\ \ \implies\ \ t_2=\dfrac{s_2}{v_2}\ \ \implies\ \ 1{,}25-t=\frac {25-s}{70}\ \ \implies\ \ t=1{,}25-\frac {25-s}{70}[/tex]

Stąd:

[tex]\dfrac{s}{4}=1,25-\dfrac{25-s}{70}\qquad/\cdot140\\\\35s=175-2(25-s)\\\\35s=175-50+2s\\\\33s=125\qquad/:33\\\\s=3{,}(78)\approx3{,}788\ km=3\,km\ 788\,m\\\\s_2=25-3{,}788=21{,}812\ km=21\,km\ 812\, m[/tex]

Odp.: Przystanek znajduje się w odległości ok. 3,788 km od ośrodka, a autobusem Tomek przejechał ok. 21,812 km.