Założenie: [tex]x, y \in \mathbb{R}_+[/tex].
Jeżeli liczby [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi równość [tex]ac = b^2[/tex]. Tak więc:
[tex]18x = y^2[/tex]
Jeżeli liczby [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, to zachodzi równość [tex]\frac{a+c}{2} = b[/tex]. Stąd:
[tex]\frac{y - x + 2 + y}{2} = 9[/tex]
Dany jest układ niewiadomych...
[tex]2y - x + 2 = 18\\2y = 16 + x\\y = 8 + \frac{1}{2} x\\18x = \left( 8 + \frac{1}{2} x \right) ^2 = 8^2 + 2 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} x + \left( \frac{1}{2} x \right)^2 = 64 + 8x + \frac{1}{4}x^2[/tex]
Przystępujemy do rozwiązania równości kwadratowej:
[tex]0 = \frac{1}{4} x^2 - 10 x + 64\\\Delta = \left( -10 \right) ^2 - 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 64 = 100 - 64 = 36\\x_1 = \frac{- \left( -10 \right) - \sqrt{36} }{2 \cdot \frac{1}{4} } = \frac{10 - 6}{\frac{1}{2} } = 4 \cdot 2 = 8\\x_2 = \frac{- \left( -10 \right) + \sqrt{36} }{2 \cdot \frac{1}{4} } = 16 \cdot 2 = 32\\y = 8 + \frac{1}{2} x\\y = 8 + \frac{1}{2} \cdot 8 = 8 + 4 = 12 \lor y = 8 + \frac{1}{2} \cdot 32 = 8 + 16 = 24[/tex]
Ustalam wzór ciągu geometrycznego:
[tex]a_n = a_k \cdot q^{n-k}\\a_3 = a_2 \cdot q^{3-2}\\18 = yq\\q = \frac{18}{y} \\q = \frac{18}{12} = 1\frac{1}{2} \lor q = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} \\a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = xq^{n-1}\\a_n = 8 \cdot \left( 1 \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \lor a_n = 32 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^{n-1}[/tex]
Ustalam wzór ciągu arytmetycznego:
[tex]a_n = a_k + \left( n - k \right)r\\a_3 = a_2 + \left( 3 - 2 \right) r\\y = 9 + r\\r = y - 9\\r = 12 - 9 = 3 \lor r = 24 - 9 = 15\\a_n = a_1 + \left( n - 1 \right) r\\a_n = y - x + 2 + \left( n - 1 \right) r\\a_n = 12 - 8 + 2 + \left( n - 1 \right) \cdot 3 = 6 + \left( n - 1 \right) \cdot 3 \lor a_n = 24 - 32 + 2 + \left( n - 1 \right) r = -6 + \left( n - 1 \right) \cdot 15[/tex]
ODPOWIEDŹ
Istnieją dwa rozwiązania:
1) [tex]x = 8[/tex], [tex]y = 12[/tex], wówczas ciąg geometryczny ma wzór [tex]a_n = 8 \cdot \left(1\frac{1}{2} \right)^{n-1}[/tex], zaś ciąg arytmetyczny można opisać wzorem [tex]a_n = 6 + \left(n - 1 \right) \cdot 3[/tex]
2) [tex]x = 32[/tex], [tex]y = 24[/tex], ciąg geometryczny [tex]a_n = 32 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) ^{n-1}[/tex], ciąg arytmetyczny [tex]a_n = -6 + \left(n - 1 \right) \cdot 15[/tex]