Rozwiązanie:
Pierwszy przykład:
[tex](2+2i)^{35}[/tex]
Wykorzystamy tutaj wzór de Moivre'a :
[tex]z^{n}=|z|^{n}(cos(n\alpha) +isin(n\alpha ))[/tex]
Najpierw znajdziemy moduł i argument liczby zespolonej postaci:
[tex]z=a+bi=2+2i[/tex]
Moduł:
[tex]|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}} =2\sqrt{2}[/tex]
Argument:
[tex]$sin\alpha =\frac{b}{|z|}= \frac{2}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]$cos\alpha =\frac{a}{|z|}= \frac{2}{2\sqrt{2} } =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
Łatwo widać, że:
[tex]$\alpha =\frac{\pi }{4}[/tex]
Zatem możemy teraz wykorzystać powyższy wzór:
[tex](2+2i)^{2}=(2\sqrt{2} )^{35}(cos(\frac{35\pi }{4}) +isin(\frac{35\pi }{4} ))=(2\sqrt{2} )^{35} }(cos(\frac{3\pi }{4} )+isin(\frac{3\pi }{4} ))[/tex]
Obliczamy:
[tex](2\sqrt{2} )^{35} (cos(\frac{3\pi }{4} )+isin(\frac{3\pi }{4} ))=(2\sqrt{2} )^{35}(-\frac{\sqrt{2} }{2} +i\frac{\sqrt{2} }{2} )=(2\sqrt{2} )^{35} \cdot \frac{\sqrt{2} }{2} (i-1)=2^{52}(i-1)[/tex]
Drugi przykład:
[tex](\sqrt{3} +i\sqrt{3} )^{62}[/tex]
Najpierw znajdziemy moduł i argument liczby zespolonej postaci:
[tex]z=a+bi=\sqrt{3} +i\sqrt{3}[/tex]
Moduł:
[tex]|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} =\sqrt{3+3} =\sqrt{6}[/tex]
Argument:
[tex]$sin\alpha =\frac{b}{|z|} =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{6} } =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]$cos\alpha =\frac{a}{|z|} =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{6} } =\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
Łatwo widać, że:
[tex]$\alpha =\frac{\pi }{4}[/tex]
Zatem możemy wykorzystać powyższy wzór:
[tex](\sqrt{3} +i\sqrt{3} )^{62}=(\sqrt{6} )^{62}(cos(\frac{62\pi }{4} )+isin(\frac{62\pi }{4} ))=6^{31}(cos(\frac{3\pi }{2}) +isin(\frac{3\pi }{2} ))[/tex]
Obliczamy:
[tex]6^{31}(cos(\frac{3\pi }{2}) +isin(\frac{3\pi }{2} ))=6^{31}(0-i)=-6^{31}i[/tex]
