[tex]zad.48\\(log_{6}2 +log_{6}3 )^{2} =log_{6} ^{2} 2+2log_{6}2 log_{6}3 +log_{6} ^{2} 3\\\\log_{6} ^{2} 2+log_{6} ^{2} 3=(log_{6}2 +log_{6}3 )^{2} - 2log_{6}2 log_{6}3\\\\log_{6} 4=log_{6} (2\cdot 2)= log_{6} 2 +log_{6} 2\\\\log_{6} 6=1\\\\L=log_{6} ^{2} 2+log_{6} ^{2} 3+\cdot log_{6} 4 \cdot log_{6} 3 \\\\L= (log_{6}2 +log_{6}3 )^{2} - 2log_{6}2 log_{6}3 + \cdot log_{6} 4 \cdot log_{6} 3 \\\\L=(log_{6}2\cdot3 )^{2} - 2log_{6}2 log_{6}3 + \cdot log_{6} (2\cdot 2) \cdot log_{6} 3[/tex]
[tex]L=(log_{6}6 )^{2} - 2log_{6}2 log_{6}3 +(log_{6} 2+log_{6} 2)\cdot log_{6} 3\\\\L= 1^{2} - 2log_{6}2 log_{6}3 +log_{6}2 log_{6}3+log_{6}2 log_{6}3\\\\L=1-2log_{6}2 log_{6}3+2log_{6}2 log_{6}3\\\\L=1\\\\P=1\\\\L=1~~\land ~~P=1~~\Rightarrow~~L=P~~cbdu[/tex]
[tex]zad.49\\\\p=[ (log_{3} 5+9log_{5} 3+6)\cdot log_{5} 3]\cdot(log_{3} 5 -3log_{135} 5) -log_{3} 5\\\\p=[ (\dfrac{1}{log_{5} 3} +9log_{5} 3+6)\cdot log_{5} 3]\cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3} 135} ) -log_{3} 5\\\\[/tex]
[tex]p=[ 1+9log_{5}^{2} 3+6log_{5} 3]\cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3} (5\cdot 27)} ) -log_{3} 5\\\\p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3}5 +log_{3} 27 } ) -log_{3} 5\\\\p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3}5 +log_{3} 3^{3} } ) -log_{3} 5\\\\p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3}5 +3log_{3} 3 } ) -log_{3} 5\\\\p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot(log_{3} 5 -\frac{3log_{3} 5}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\[/tex]
[tex]p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot (\frac{log_{3} ^{2} 5+3log_{3} 5- 3log_{3} 5}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=(3log_{5} 3 + 1)^{2} \cdot (\frac{log_{3} ^{2} 5}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=[(3log_{5} 3 + 1)\cdot log_{3} 5]^{2} \cdot (\frac{1}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=[(3log_{5} 3 + 1)\cdot \frac{1}{log_{5} 3} ]^{2}\cdot (\frac{1}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=[3 + \frac{1}{log_{5} 3} ]^{2}\cdot (\frac{1}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\[/tex]
[tex]p=[3 + log_{3} 5]^{2}\cdot (\frac{1}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=(log_{3} 5+3)^{2}\cdot (\frac{1}{log_{3}5 +3 } ) -log_{3} 5\\\\p=log_{3} 5+3 - log_{3} 5\\\\p= 3~~\land~~ 3\in Z~~\Rightarrow p\in Z ~~cbdu\\[/tex]
[tex]zad.52\\\\L=\dfrac{1}{1+log_{2} 15} +\dfrac{1}{1+log_{3} 10} +\dfrac{1}{1+log_{5} 16}\\\\L=\dfrac{1}{log_{2} 2+log_{2} 15} +\dfrac{1}{log_{3} 3+log_{3} 10} +\dfrac{1}{log_{5} 5+log_{5} 16}\\\\L=\dfrac{1}{log_{2}(2\cdot 15)} +\dfrac{1}{log_{3} (3\cdot 10)} +\dfrac{1}{log_{5}(5\cdot 16)}\\\\L=\dfrac{1}{log_{2}30} +\dfrac{1}{log_{3} 30} +\dfrac{1}{log_{5}30}\\\\L=log_{30} 2+log_{30} 3+log_{30} 5\\\\L=log_{30} (2\cdot 3) +log_{30} 5\\\\L=log_{30} 6+log_{30} 5\\\\L=log_{30} (6\cdot 5)\\\\[/tex]
[tex]L=log_{30} 30\\\\L=1\\\\P=1\\\\L=1~~\land ~~ P=1~~\Rightarrow L=P ~~cbdu[/tex]
[tex]korzystalam~~ ze~~ wzorow:\\\\log_{a} a=1\\\\log_{a} b=\frac{1}{log_{b} a} \\\\log_{a} b+log_{a} c=log_{a} (b\cdot c )[/tex]
