Odpowiedź:
32
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przykłady zostały opisane niezbyt czytelnie, aczkolwiek wydaje mi się, że mam rozwiązanie w podobnym duchu.
Aby znaleźć liczbę dzielników danej liczby n należy rozłożyć ją na czynniki pierwsze tzn. [tex]n=3^1\cdot5^1\cdot7^1\cdot11^1\cdot13^1[/tex] (dopisałem potęgi kolejnych wykładników).
Ważne, aby równe czynniki (liczby pierwsze) zgrupować z użyciem potęgowania np. [tex]2^5\cdot7^2[/tex] jest poprawnie, ale [tex]2\cdot2^4 \cdot 7 \cdot 7[/tex] nie.
Ilość dzielników otrzymujemy licząc iloczyn wykładników kolejnych liczb pierwszych powiększonych o 1.
W naszym przypadku jest to (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1) = 2^5 = 32
Skąd taka metoda?
Dla pewnej liczby [tex]n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_k^{a_k}[/tex] każdy jej dzielnik d jest równy [tex]d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\cdots p_k^{b_k}[/tex] dla pewnego ciągu wykładników b, przy czym [tex]0 \leq b_i \leq a_i[/tex].
Stąd "tworząc" dzielnik liczby n, i-ty z wykładników [tex]b_1,b_2,\hdots, b_k[/tex] można wybrać na [tex]a_i + 1[/tex] sposobów. Z reguły mnożenia mamy znany wzór:
[tex]\tau(n) = (a_1+1)(a_2+1)(a_3+1)\cdots(a_k+1)[/tex]
