Przykład a:
[tex]x=2^{4\sqrt{2}}[/tex]
[tex]y=4^{\frac{\sqrt{2}}{2}}=(2^{\not2})^{\frac{\sqrt{2}}{\not2}}=2^{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]z=8^{-\frac{\sqrt{2}}{3}}=(2^{\not3})^{-\frac{\sqrt{2}}{\not3}}=2^{-\sqrt{2}}[/tex]
Parą liczb odwrotnych jest [tex]y[/tex] i [tex]z[/tex], ponieważ iloczyn liczb odwrotnych wynosi [tex]1[/tex]:
[tex]2^{\sqrt{2}}\cdot2^{-\sqrt{2}}=2^{\sqrt{2}+(-\sqrt{2})}=2^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}=2^{0}=1[/tex]
Zauważmy, że jeżeli podstawy potęg są takie same, a ich wykładniki stanowią liczby przeciwne, to liczby te stanowią parę liczb odwrotnych.
Odpowiedź: y i z.
Przykład b:
[tex]x=1,5^{4-2\sqrt{3}}=(\frac{3}{2})^{2(2-\sqrt{3})}=(\frac{9}{4})^{2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]y=(\frac{4}{9})^{2+\sqrt{3}}=((\frac{9}{4})^{-1})^{2+\sqrt{3}}=(\frac{9}{4})^{-2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]z=(\frac{9}{4})^{\sqrt{3}-2}[/tex]
Liczby przeciwne są w wykładnikach potęg liczb [tex]x[/tex] i [tex]z[/tex], ponieważ:
[tex]-(2-\sqrt{3})=-2+\sqrt{3}=\sqrt{3}-2[/tex]
stąd liczby odwrotne to [tex]x[/tex] i [tex]z[/tex].
Odpowiedź: x i z.
Przykład c:
[tex]x=125^{1-2\sqrt{5}}=(5^{3})^{1-2\sqrt{5}}=5^{3-6\sqrt{5}}[/tex]
[tex]y=25^{2-3\sqrt{5}}=(5^{2})^{2-3\sqrt{5}}=5^{4-6\sqrt{5}}[/tex]
[tex]z=0,0016\cdot5^{\sqrt{180}}=\frac{16}{10000}\cdot5^{\sqrt{36\cdot5}}=\frac{1}{625}\cdot5^{6\sqrt{5}}=\frac{1}{5^{4}}\cdot5^{6\sqrt{5}}=5^{6\sqrt{5}-4}[/tex]
Podobnie jak w przykładach powyżej:
[tex]5^{4-6\sqrt{5}}\cdot5^{6\sqrt{5}-4}=5^{4-6\sqrt{5}+6\sqrt{5}-4}=5^{0}=1[/tex]
lub [tex]-(4-6\sqrt{5})=-4+6\sqrt{5}=6\sqrt{5}-4[/tex]
Odpowiedź: y i z.
