Rozwiązanie:
Będziemy głównie korzystali ze wzorów na pochodną iloczynu:
[tex](f(x) \cdot g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[/tex]
oraz na pochodną ilorazu:
[tex](\frac{f(x)}{g(x)})'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)}[/tex]
Ponadto zastosujemy wzór na pochodną funkcji złożonej:
[tex](f(g(x)))'=f'(g(x)) \cdot g'(x)[/tex]
Mamy:
[tex]a)[/tex]
[tex]f(x)=sinxcosx\\[/tex]
[tex]f'(x)=(sinx)'cosx+sinx(cosx)'=cosx \cdot cosx+sinx \cdot (-sinx)=cos^{2}x-sin^{2}x=cos2x[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]f(x)=(2x+1)sinx[/tex]
[tex]f'(x)=(2x+1)'sinx+(2x+1)sinx'=2sinx+(2x+1) \cdot cosx=2sinx+(2x+1)cosx[/tex]
[tex]c)\\[/tex]
[tex]f(x)=(x^{2}+3)tgx[/tex]
[tex]f'(x)=(x^{2}+3)'tgx+(x^{2}+3)tgx'=2xtgx+\frac{x^{2}+3}{cos^{2}x}[/tex]
[tex]d)[/tex]
[tex]f(x)=sin^{2}x[/tex]
[tex]f'(x)=2sinx \cdot (sinx)'=2sinx \cdot cosx=2sinxcosx[/tex]
[tex]e)[/tex]
[tex]f(x)=xctgx[/tex]
[tex]f'(x)=(x)'ctgx+x(ctgx)'=ctgx-\frac{x}{sin^{2}x}[/tex]
[tex]h)[/tex]
[tex]f(x)=\frac{sinx}{1+cosx}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{(sinx)'(1+cosx)-sinx(1+cosx)'}{(1+cosx)^{2}} =\frac{cosx(1+cosx)-sinx \cdot (-sinx)}{(1+cosx)^{2}}=\frac{cosx+cos^{2}x+sin^{2}x}{(1+cosx)^{2}}=\frac{cosx+1}{(1+cosx)^{2}} =\frac{1}{1+cosx}[/tex]
