Odpowiedź:
[tex]\Sigma^{\infty}_{n=0}\bigg[\frac{x^n}{n} \cdot\bigg(2+2n^2-3\bigg\lfloor\frac{1}{3} (2+2n^2)\bigg\rfloor\bigg)\cdot(-1)\uparrow \frac{1}{6} \bigg(\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi (n-1))-\mathrm{cos}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )+9\bigg][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Szukałem wyniku w książce Krysicki Włodarski - niestety jest on błędny. Wyznaczyłem poprawny wynik, mam pewność w 100% (wiem, że przeraża --> w razie jakichkolwiek wątpliwości pytaj).
[tex]f(x)=\mathrm{ln}(1-x+x^2)[/tex]
Obliczamy kilka pochodnych:
[tex]f'(x)=\frac{2x-1}{x^2-x+1}[/tex]
[tex]f''(x)=-\frac{2x^2-2x-1}{(x^2-x+1)^2}[/tex]
[tex]f'''(x)=-\frac{2(3x^2-2x^3+3x-2)}{(x^2-x+1)^3}[/tex]
Zauważamy, że funkcja i pochodne w punkcie [tex]x_0=0[/tex] tworzą szereg:
[tex]-x+\frac{x^2}{2} +\frac{2x^3}{3} +\frac{x^4}{4} -\frac{x^5}{5} -\frac{x^6}{3} -\frac{x^7}{7} +\frac{x^8}{8}+\frac{2x^9}{9}+...[/tex]
Zauważamy prostą zasadę, co trzeci wyraz jest mnożony przez [tex]2[/tex] oraz począwszy od drugiego wyrazu mamy na przemian trzy razy plus i trzy razy minus.
Najtrudniejszy etap - ułożenie wzoru, a w szczególności fragmentów odpowiedzialnych za wyżej wymienione, powtarzające się w określony sposób cechy szeregu. Po kilku godzinach znajdujemy wynik (Jeśli jakikolwiek element w wyniku jest niejasny pisz śmiało od razu wyjaśnię).
[tex]\Sigma^{\infty}_{n=0}\bigg[\frac{x^n}{n} \cdot\bigg(2+2n^2-3\bigg\lfloor\frac{1}{3} (2+2n^2)\bigg\rfloor\bigg)\cdot(-1)\uparrow \frac{1}{6} \bigg(\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\sqrt{3} \cdot\mathrm{sin}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi \cdot\frac{n-1}{3} )-\mathrm{cos}(\pi (n-1))-\mathrm{cos}(5\pi \cdot\frac{n-1}{3} )+9\bigg)\bigg][/tex]
załączam, również dowód poprawności powyższego wzoru (Program MathCAD - możliwość błędu jest wykluczona).
Program nie potrafiłby wskazać tego wzoru, to jedynie potwierdzenie, jeśli nie chce Ci się podstawiać za [tex]n[/tex]. Proszę, by administracja nie usuwała z tego powodu.
