Rozwiązanie:
[tex]e)\\[/tex]
[tex]a_{n}=\frac{n}{2n-1}\\a_{n+1}=\frac{n+1}{2(n+1)-1}=\frac{n+1}{2n+1}[/tex]
Zatem:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{2n+1}-\frac{n}{2n-1}=\frac{(n+1)(2n-1)-n(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{2n^{2}+n-1-2n^{2}-n}{4n^{2}-1} =-\frac{1}{4n^{2}-1}[/tex]
Dla [tex]n \in \mathbb{N}_{+}[/tex] mamy [tex]-\frac{1}{4n^{2}-1} <0[/tex], co oznacza, że ciąg jest malejący.
[tex]h)[/tex]
[tex]a_{n}=\frac{n^{2}}{n+1}\\a_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{n+2} =\frac{n^{2}+2n+1}{n+2}[/tex]
Zatem:
[tex]a_{n+1}-a_{n}=\frac{n^{2}+2n+1}{n+2} -\frac{n^{2}}{n+1} =\frac{(n^{2}+2n+1)(n+1)-n^{2}(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\frac{n^{3}+3n^{2}+3n+1-n^{3}-2n^{2}}{(n+2)(n+1)} =\frac{n^{2}+3n+1}{(n+2)(n+1)}[/tex]
Zbadajmy znak licznika dla [tex]n \in \mathbb{N}_{+}[/tex]:
[tex]n^{2}+3n+1=0\\\Delta=9-4 \cdot 1 \cdot 1=5\\n_{1}=\frac{-3-\sqrt{5} }{2} <0\\n_{2}=\frac{-3+\sqrt{5} }{2} <0[/tex]
Zatem:
[tex]n^{2}+3n+1<0 \ dla \ n \in (-\frac{3-\sqrt{5} }{2} ,\frac{-3+\sqrt{5} }{2})[/tex], co oznacza, że dla [tex]n \in \mathbb{N}_{+}[/tex] mamy [tex]n^{2}+3n+1>0[/tex]
Stąd różnica [tex]a_{n+1}-a_{n}[/tex] jest dodatnia (bo licznik i mianownik są dodatnie), czyli ciąg jest rosnący.
