Rozwiązanie:
Zadanie [tex]1.[/tex]
[tex]a)[/tex]
[tex]y=log_{5}(49-x^{2})[/tex]
[tex]49-x^{2}>0\\(7-x)(7+x)>0\\D:x \in (-7,7)[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]y=\frac{2x}{\sqrt[3]{x^{2}-5x} }[/tex]
[tex]\sqrt[3]{x^{2}-5x} \neq 0\\x^{2}-5x\neq 0\\x(x-5)\neq 0\\x\neq 0 \wedge x\neq 5[/tex]
[tex]D=R[/tex] \ [tex]\{0,5\}[/tex]
Zadanie [tex]2.[/tex]
[tex]a)[/tex]
[tex]y=2x^{3}lnx\\y'=6x^{2}lnx+\frac{2x^{3}}{x} =6x^{2}lnx+2x^{2}=2x^{2}(3lnx+1)[/tex]
[tex]b)[/tex]
[tex]y=\sqrt{x^{2}+5} \\y'=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+5} } \cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5} }[/tex]
Zadanie [tex]3.[/tex]
[tex]y=\frac{5x^{2}}{x+2}[/tex]
Dziedzina:
[tex]x+2\neq 0\\x\neq -2[/tex]
Pochodna:
[tex]y'=\frac{10x(x+2)-5x^{2}}{(x+2)^{2}}=\frac{5x^{2}+20x}{(x+2)^{2}}[/tex]
Zerujemy pochodną:
[tex]y'=0 \iff 5x^{2}+20x=0\\x^{2}+4x=0\\x(x+4)=0\\x=0 \vee x=4[/tex]
Szkicujemy symboliczny wykres pochodnej (załącznik) i odczytujemy:
[tex]f'(x)>0 \ dla \ (-\infty,-4) \cup (0,\infty)\\f'(x)<0 \ dla \ (-4,-2) \cup (-2,0)[/tex]
Stąd mamy monotoniczność funkcji:
Funkcja rośnie dla [tex]x \in (-\infty,-4> \ \cup <0,\infty)[/tex]
Funkcja maleje dla [tex]x \in \ <-4,-2) \cup (-2,0>[/tex]
Stąd mamy ekstrema funkcji:
Funkcja przyjmuje maksimum lokalne dla [tex]x=-4[/tex], które wynosi:
[tex]f(-4)=-40[/tex]
Funkcja przyjmuje minimum lokalne dla [tex]x=0[/tex], które wynosi:
[tex]f(0)=0[/tex]
Zadanie [tex]4[/tex].
Najpierw obliczmy:
[tex]A^{T}=\left|\begin{array}{cc}-2&-1\\4&2\\1&4\end{array}\right|[/tex]
[tex]3C=3\left|\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\-2&0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}3&0\\0&3\\-6&0\end{array}\right|[/tex]
Zatem:
[tex]A^{T}B-3C=\left|\begin{array}{cc}-2&-1\\4&2\\1&4\end{array}\right| \cdot \left|\begin{array}{cc}2&-4\\-1&2\end{array}\right| -\left|\begin{array}{cc}3&0\\0&3\\-6&0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-3&6\\6&-12\\-2&4\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}3&0\\0&3\\-6&0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-6&6\\6&-15\\4&4\end{array}\right|[/tex]
Zadanie [tex]5.[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}2x-4y+2z=8\\-2x-y+z=-3\\-3x+y-2z=-7\end{array}\right[/tex]
Rozwiązujemy:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}2&-4&2\\-2&-1&1\\-3&1&-2\end{array}\right|[/tex]
Korzystając z metody Sarrusa:
[tex]W=\left|\begin{array}{ccc}2&-4&2\\-2&-1&1\\-3&1&-2\end{array}\right| \left\begin{array}{cc}2&-4\\-2&-1\\-3&1\end{array}\right =(4+12-4)-(6+2-16)=12+8=20\neq 0[/tex]
Dalej mamy:
[tex]W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}8&-4&2\\-3&-1&1\\-7&1&-2\end{array}\right|[/tex]
[tex]W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}2&8&2\\-2&-3&1\\-3&-7&-2\end{array}\right|[/tex]
[tex]W_{z}=\left|\begin{array}{ccc}2&-4&8\\-2&-1&-3\\-3&1&-7\end{array}\right|[/tex]
Korzystając z metody Sarrusa:
[tex]W_{x}=\left|\begin{array}{ccc}8&-4&2\\-3&-1&1\\-7&1&-2\end{array}\right|\left\begin{array}{cc}8&-4\\-3&-1\\-7&1\end{array}\right=(16+28-6)-(14+8-24)=38+2=40[/tex]
[tex]W_{y}=\left|\begin{array}{ccc}2&8&2\\-2&-3&1\\-3&-7&-2\end{array}\right\left|\begin{array}{cc}2&8\\-2&-3\\-3&-7\end{array}\right=(12-24+28)-(18-14+32)=16-36=-20[/tex]
[tex]W_{z}=\left|\begin{array}{ccc}2&-4&8\\-2&-1&-3\\-3&1&-7\end{array}\right\left|\begin{array}{cc}2&-4\\-2&-1\\-3&1\end{array}\right=(14-36-16)-(24-6-56)=-38+38=0[/tex]
Zatem:
[tex]x=\frac{W_{x}}{W}=\frac{40}{20}=2\\y=\frac{W_{y}}{W}=\frac{-20}{20}=-1\\z=\frac{W_{z}}{W}=\frac{0}{20}=0[/tex]
