Rozwiązanie:
Ustalmy poniższe założenia:
[tex]1. \ A \subseteq B[/tex] tylko i tylko wtedy, gdy dla każdego [tex]x \in A[/tex] zachodzi [tex]x \in B[/tex].
[tex]2. \ x \in A \cup B[/tex] tylko i tylko wtedy, gdy [tex]x \in A[/tex] lub [tex]x \in B[/tex].
[tex]3.\ A=B[/tex] tylko i tylko wtedy, gdy [tex]A \subseteq B[/tex] oraz [tex]B \subseteq A[/tex].
Mamy pokazać, że [tex]A \cup B=B[/tex].
Weźmy taki element [tex]x[/tex], że [tex]x \in B[/tex], wtedy na pewno [tex]x \in A[/tex] lub [tex]x \in B[/tex], a to oznacza, że [tex]x \in A \cup B[/tex].
Teraz w drugą stronę weźmy [tex]x \in A \cup B[/tex], wtedy na pewno [tex]x \in A[/tex] lub [tex]x \in B[/tex]. Jeżeli [tex]x \in A[/tex], to z założenia [tex](1)[/tex] mamy [tex]x \in B[/tex], w drugim przypadku sprawa jest oczywista.
W dwóch powyższych przypadkach dochodzimy do tego, że [tex]x \in B[/tex].
Zatem pokazaliśmy, że jeżeli zachodzi [tex]A \subseteq B[/tex], to [tex]B \subseteq A \cup B[/tex] i [tex]A \cup B \subseteq B[/tex]. Teraz na podstawie faktu [tex](3)[/tex] można powiedzieć, że [tex]A \cup B=B[/tex], co kończy dowód.
