Rozwiązanie:
Ustalmy postać liczby zespolonej [tex]z=a+bi[/tex].
Wszystkie rysunki w załącznikach.
[tex]a)[/tex]
[tex]|z+i|=3\\[/tex]
[tex]|a+bi+i|=3\\|a+(b+1)i|=3[/tex]
Korzystamy ze wzoru na moduł liczby zespolonej:
[tex]\sqrt{a^{2}+(b+1)^{2}} =3\\a^{2}+(b+1)^{2}=9[/tex]
Zatem jest to okrąg o środku w punkcie [tex](0,-1)[/tex] i promieniu [tex]3[/tex].
[tex]b)[/tex]
[tex]|2iz+6|\leq 4\\[/tex]
[tex]|iz+3|\leq 2\\|(a+bi)i+3|\leq 2\\|ai-b+3|\leq 2\\[/tex]
Korzystamy ze wzoru na moduł liczby zespolonej:
[tex]\sqrt{a^{2}+(b-3)^{2}} \leq 2\\a^{2}+(b-3)^{2}\leq 4[/tex]
Zatem jest to koło o środku w punkcie [tex](0,3)[/tex] i promieniu [tex]2[/tex].
[tex]c)[/tex]
[tex]2<|z+2-i|\leq 3[/tex]
[tex]2<|a+bi+2-i|\leq 3\\2<|a+2+(b-1)i|\leq 3[/tex]
Korzystamy ze wzoru na moduł liczby zespolonej:
[tex]2<\sqrt{(a+2)^{2}+(b-1)^{2}} \leq 3\\4<(a+2)^{2}+(b-1)^{2}\leq 9[/tex]
Zatem jest to pierścień kołowy o środku w punkcie [tex](-2,1)[/tex], promieniu wewnętrznym [tex]2[/tex] i promieniu zewnętrznym [tex]3[/tex].
