Rozwiązanie:
Na początek:
[tex]\angle ADC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}[/tex]
Ustalmy ponadto:
[tex]|AC|=x\\|BC|=y\\|AD|=p\\|DB|=q\\|CD|=r[/tex]
Przy czym [tex]p=q[/tex].
Z twierdzenia Carnota w [tex]\Delta ADC[/tex] :
[tex]x^{2}=p^{2}+r^{2}-2pr \cdot cos(120^{\circ})\\x^{2}=p^{2}+r^{2}-2pr \cdot (-\frac{1}{2})\\x^{2}=p^{2}+r^{2}+pr[/tex]
Dalej z tego twierdzenia w [tex]\Delta BDC[/tex] :
[tex]y^{2}=q^{2}+r^{2}-2qr \cdot cos(60^{\circ})\\y^{2}=q^{2}+r^{2}-2qr \cdot \frac{1}{2} \\y^{2}=q^{2}+r^{2}-qr[/tex]
Zatem zachodzi równość:
[tex]x^{2}-y^{2}=p^{2}+r^{2}+pr-(q^{2}+r^{2}-qr)=p^{2}+r^{2}+pr-q^{2}-r^{2}+qr=p^{2}-q^{2}+pr+qr=(p-q)(p+q)+r(p+q)=(p+q)(p-q+r)=(p+q)r[/tex]
co kończy dowód.
