MBartus19viz
Rozwiązane

ZADANIE
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb , i takich, że <, spełniona jest
nierówność
[tex]\frac{a}{b} \ \textless \ \frac{a+c}{b+c}[/tex]

Odpowiedź :

Louie314viz

Rozwiązanie:

Założenia:

[tex]a,b,c>0 \wedge a<b[/tex]

Przekształcamy nierówność równoważnie:

[tex]\frac{a}{b} <\frac{a+c}{b+c} \ \ / \cdot b(b+c)\\a(b+c)<b(a+c)\\ab+ac<ab+bc\\ac<bc\\ac-bc<0\\c(a-b)<0[/tex]

Teraz zauważmy, że [tex]c>0[/tex] oraz [tex]a-b<0[/tex] (z założenia), tak więc lewa strona nierówności to iloraz liczby dodatniej i ujemnej, który jest zawsze ujemny, co kończy dowód.

MertBviz

Cześć!

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a,b,c[/tex] to dowolne liczby rzeczywiste dodatnie, więc [tex]a<b[/tex]

[tex]\frac{a}{b} <\frac{a+c}{b+c} \\\frac{a}{b} -\frac{a+c}{b+c} <0\\\frac{a(b+c)-b(a+c)}{b(b+c)} <0\\\frac{a(b+c)-b(a+c)}{b(b+c)} <0\\\frac{ab+ac-ab-bc}{b(b+c)} <0\\\frac{ac-bc}{b(b+c)} <0\\\frac{c(a-b)}{b(b+c)} <0[/tex]

Założenia:

  1. liczby [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex] są dodatnie zatem [tex]b(b+c)>0[/tex]    
  2.  liczba [tex]c[/tex] jest dodatnia i [tex]a-b<0[/tex] zatem [tex]c(a-b)<0[/tex]        

Wówczas [tex]\frac{c(a-b)}{b(b+c)} <0[/tex] jest ona liczbą ujemną. Przedstawiona nierówność jest prawdziwa. Proces ten kończy dowód, to należało w nim wykazać.

Viz Inne Pytanie