Odpowiedź:
P = 20 [j²]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyjaśnienie zależności wpisanych na rysunku:
IKLI : I LMI = 2:1, zatem jeśli oznaczymy |LM| = x, to mamy |KL| = 2x
Skoro KLMN jest prostokątem, to trójkąty BKL i CLM są podobne.
{Oznaczając: |∡BKL|=α mamy:
|∡BLK| = 180° - |∡KBL| - |∡BKL| = 180° - 90° - α = 90° - α
|∡CLM| = 180° - |∡BLK| - |∡KLM| = 180° - (90° - α) - 90° = α = |∡BKL|
|∡CML| = 180° - |∡LCM| - |∡CLM| = 180° - 90° - α = 90° - α = |∡BLK|
{|∡CLM|=|∡BKL| ∧ |∡CML|=|∡BLK| ∧ |∡KLM|= |∡LCM|} ⇒ ΔBKL~ΔCLM
Analogicznie możemy uzasadnić, że trójkąty ANK i DMN są podobne do trójkątów BKL i CLM}
Oznaczmy: |CM|=a i |CL|=b
Skoro ΔBKL~ΔCLM, to:
[tex]\dfrac{|BL|}{|CM|}=\dfrac{|BK|}{|CL|}=\dfrac{|KL|}{|LM|}=\dfrac{2x}{x}=\dfrac21[/tex]
Czyli: |BK| = 2|CL| = 2b
i |BL| = 2|CM| = 2a
A skoro ΔANK~ΔCLM i |NK| = |ML| to |AK| = |CM| = a
Z treści zadania wynika zatem, że
a + 2b = 7 i 2a + b = 5
[tex]\begin{cases}a + 2b = 7\\2a + b = 5\qquad/\cdot(-2)\end{cases}\\\\ \underline{\begin{cases}a + 2b = 7\\-4a -2b =-10\end{cases}}\\{}\quad-3a=-3\quad/:(-3)\\{}\qquad\ a=1\\\\2\cdot1+b=5\\b=5-2=3[/tex]
Korzystając z tw. Pitagorasa mamy:
x² = a² + b²
x² = 1² + 3²
x² = 1 + 9 = 10
x = √10
Pole KLMN to:
P = |KL|·|ML| = 2x·x = 2x²
Czyli:
P = 2·(√10)² = 2·10 = 20
